Solución del problema 65

Enunciado del problema 65

El número de divisores es $\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)$

Al dividir por a queda $a^{x-1}{b}^y{c}^z$, que tiene $x\left(y+1\right)\left(z+1\right)$ divisores

Al dividir por a queda $a^x{b}^{y-1}{c}^z$, que tiene $\left(x+1\right)y\left(z+1\right)$ divisores

Al dividir por a queda $a^x{b}^y{c}^{z-1}$, que tiene $\left(x+1\right)\left(y+1\right)z$ divisores

Por tanto $\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)-x\left(y+1\right)\left(z+1\right)=72$, es decir

$$\begin{array}{ccc}\left(y+1\right)\left(z+1\right)& =& 72\end{array}$$

Igualmente

$$\begin{array}{ccc}\left(z+1\right)\left(x+1\right)& =& 48\\ \left(y+1\right)\left(x+1\right)& =& 54\end{array}$$

Resolviendo el sistema

$$\begin{array}{ccc}y+1& =& \frac{72}{z+1}\\ x+1& =& \frac{48}{z+1}\end{array}$$

y sustituyendo en la tercera ecuación

$$\frac{72}{z+1}\cdot \frac{48}{z+1}=54\Rightarrow z=7;y=8;x=5$$

y el número será

$$n=a^5{b}^8{c}^7$$