Solución al problema 66.

Enunciado del problema 66

Llamaremos $\frac{a}{b}=r$. La desigualdad es $r<\sqrt{2}<\frac{r+2}{r+1}$

Supongamos entonces que $r<\sqrt{2}$

Entonces

$$\begin{array}{ccc}r+1& <& \sqrt{2}+1\\ \frac{1}{\sqrt{2}+1}& <& \frac{1}{r+1}\\ 1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}& <& 1+\frac{1}{r+1}\\ \frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+1}& <& \frac{r+2}{r+1}\end{array}$$

Como $\frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}$, resulta$$\begin{array}{ccc}\sqrt{2}& <& \frac{r+2}{r+1}\end{array}$$