Solución al problema 125.

Enunciado del problema 125

Aplicando el teorema del coseno tenemos la siguiente relación

$$k^2={\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}^2+{\left(b\sqrt{2}\right)}^2-2b\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=a^2+3b^2-b\sqrt{6\left(a^2+b^2\right)}$$

Por lo tanto

$$k+b=a\Rightarrow \sqrt{a^2+3b^2-b\sqrt{6\left(a^2+b^2\right)}}+b=a\Rightarrow$$

$${\left(a-b\right)}^2=a^2+3b^2-b\sqrt{6\left(a^2+b^2\right)}\Rightarrow$$

$$a^2+b^2-2ab=a^2+b^2+2b^2-b\sqrt{6\left(a^2+b^2\right)}\Rightarrow 2b^2-b\sqrt{6\left(a^2+b^2\right)}+2ab=0$$

$$\Rightarrow 2b-\sqrt{6\left(a^2+b^2\right)}+2a=0\Rightarrow 6\left(a^2+b^2\right)=(2a+2b{)}^2\Rightarrow$$

$$\begin{array}{ccc}6a^2+6b^2& =& 4a^2+4b^2+8ab\Rightarrow {2a^2+2b^2=8ab\Rightarrow a}^2+b^2=4ab\Rightarrow \end{array}$$

$$\frac{a^2}{b^2}+1=4\cdot \frac{a}{b}$$

Haciendo $\frac{a}{b}=r$

$$r^2+1=4r\Rightarrow r^2-4r+1=0\Rightarrow r=\frac{4\pm \sqrt{16-4}}{2}=\frac{4\pm \sqrt{12}}{2}=2\pm \sqrt{3}$$

Como $a>b$

$$r=\frac{a}{b}=2+\sqrt{3}$$