Problema 16. Una de radicales

Demuestra que $\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{2}\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)$ y que $\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{2}\left(\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)$

Solución problema 16

Solución problema 16

Enunciado problema 16

$$\sqrt{2+\sqrt{3}}=a+b\sqrt{3}\Rightarrow 2+\sqrt{3}=a^2+3b^2+2ab\sqrt{3}$$$$\begin{array}{c}{a}^2+3b^2=2\\ 2ab=1\end{array}$$

$$\frac{1}{4b^2}+3b^2=2\Rightarrow 12b^4-8b^2+1=0$$

$$b^2=\frac{8\pm \sqrt{64-48}}{24}=\{\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \Rightarrow a=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{1}{6}& \Rightarrow a=\frac{\sqrt{6}}{2}\end{array}& \end{array}$$

En ambos casos resulta $\sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)$

La otra demostración es prácticamente idéntica

Problema 15. CM2008622

Hallar la expresión $x^2+y^2+z^2$ si $x+y+z=1$ y $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$

Solución del problema 15

Solución del problema 15

Enunciado del problema15

Como $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$, multiplicando por $xyz$, queda $yz+xz+xy=0$ Entonces

$$1=(x+y+z{)}^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=$$$${=x}^2+y^2+z^2+2\left(xy+xz+yz\right)=x^2+y^2+z^2$$

Por tanto

$$x^2+y^2+z^2=1$$

Problema 14. Este es sencillito. CM2008621

Las longitudes de las aristas de un paralelepípedo rectangular en centímetros, son números enteros y forman una progresión geométrica de razón q=2. ¿Cuál de los siguientes puede ser el volumen del paralelepípedo? :

120, 188, 216, 350, 500

Solución problema 14

Solución problema 14

Enunciado problema 14

Los lados del paralelepípedo tienen que ser de la forma $a,2a,4a\mathrm{.}$ Por tanto su volumen es $8a^3$. El volumen es un número que al dividirlo por 8 es un cubo perfecto. $216:8=27,$ por tanto la solución es $216$

Problema 13. Labor de detective. CM2008618

Supongamos que $x^{2}y{z}^3=7^3$ y $x{y}^2=7^9$¿Cuánto vale $xyz$?

Solución del problema 13

Solución problema 13.

Enunciado problema 13

Tenemos que

$$x^{2}y{z}^3=7^3\Rightarrow z^3=\frac{7^3}{x^{2}y}\left(1\right)$$

Como

$$x{y}^2=7^9\Rightarrow x^2{y}^4=7^{18}\Rightarrow x^{2}y=\frac{7^{18}}{y^3}$$

Sustituyendo en (1)

$$z^3=\frac{7^3}{x^{2}y}=\frac{7^3{y}^3}{7^{18}}=\frac{y^3}{7^{15}}\Rightarrow z=\frac{y}{7^5}$$

Como

$$x=\frac{7^9}{y^2}\Rightarrow xyz=\frac{7^9}{y^2}y\frac{y}{7^5}=\frac{7^9}{7^5}=7^4$$

Problema 12. Esto de los restos es como magia. CM2009630

Se define una sucesión de enteros mediante $a_0=1;a_1=2;a_{n+2}=a_n+a_{n+1}^2\left(sin\ge 2\right)$

Halla el resto de la división de $a_{2009}$ entre $7$

Solución problema 12

Supongamos que $r_n$ es el resto de dividir $a_n$ por 7. Es decir $a_n=\dot{7}+r_n$ Entonces

$a_{n+2}=\dot{7}+r_n+\left(\dot{7}+r_{n+1}\right){}^2=\dot{7}+r_n+\dot{7}+\dot{7}{r}_{n+1}+r_{n+1}^2=\dot{7}+r_n+r_{n+1}^2$

Esto quiere decir que el resto de dividir $a_{n+2}$ entre 7 es el mismo que el resto de dividir $\dot{7}+r_n+r_{n+1}^2$. Estudiemos los primeros casos para deducir una pauta.

n	Resto de $r_n+r_{n+1}^2$entre 7	n	Resto de $r_n+r_{n+1}^2$entre 7
0	1	14	6
1	2	15	0
2	5	16	6
3	6	17	1
4	6	18	0
5	0	19	1
6	6	20	1
7	1	21	2
8	0	22	5
9	1	23	6
10	1	24	6
11	2	25	0
12	5	26	6
13	6	27	1

Observamos que a partir del número 10, los restos se repiten en ciclos de 10 números. (Se debe probar por inducción). Por tanto el resto correspondiente a 2009 será el mismo que el correspondiente a $\frac{2009}{10}$ es decir 9. Como el resto correspondiente al 9 es 1, éste será el resultado.

Resto de la división 1

Problema 11. Opera. CM2009627

Si $$k=\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}$$.¿Cuántos valores posibles de k existen?

Solución problema 11

Haciendo operaciones

$$\left.\begin{array}{c}
a^{2}+ac=b^{2}+bc\\
a^{2}+ab=c^{2}+bc
\end{array}\right\} \Rightarrow ac-ab=b^{2}-c^{2}\Rightarrow-a(b-c)=(b+c)(b-c)$$

Si$$b\neq c$$

\[
-a=b+c\Rightarrow k=\frac{a}{b+c}=\frac{a}{-a}=-1\Rightarrow k=-1
\]


Si $$b=c$$

\[
k=\frac{a}{b+c}=\frac{a}{2b}=\frac{b}{a+b}\Rightarrow a^{2}+ab=2b^{2}\Rightarrow(a-b)(a+2b)=0
\]


Si $$a=b=c\Rightarrow k=\frac{1}{2}$$

Si $$-a=2b=2c\Rightarrow k=-1$$ como antes

Por tanto hay dos valores $$k=\frac{1}{2}$$y $$k=-1$$

Problema 10. Semejanzas. Me gusta. CM2009626

En el triángulo JKLM, la bisectriz del ángulo KJM corta a la diagonal KM en el punto N. Las distancias de N a los lados LM y KL son, respectivamente 1 y 8. Calculad cuánto vale LM.

Solución problema 10

Solución problema 10

Enunciado problema 10

Formando R y S, puntos resultantes de prolongar las rectas punteada
y cortar con los lados, como $$\hat{KNS}=\hat{RMN}$$
resulta que esos triángulos son semejantes, y siendo la distancia de N al lado JK la misma que al lado JM por estar en la bisectriz, resulta

\[
\frac{a}{8}=\frac{1}{a}\Rightarrow a^{2}=8\Rightarrow a=2\sqrt{2}
\]
y por tanto $$LM=8+2\sqrt{2}$$

Problema 8. Una de ángulos y proporciones. CM2009624

¿Para cuántos enteros n, mayores o iguales que 3, existe un polígono convexo de n lados cuyos ángulos están en proporción 1:2:3:...:n?

Solución problema 8

Solución problema 8.

Enunciado problema 8

Los ángulos deben están en progresión aritmética $a,2a,3a,\mathrm{...},na$.

Se debe cumplir además que la suma de todos los ángulos interiores sea $180\left(n-2\right)$, por tanto:

$$S_n=\frac{\left(a+an\right)n}{2}=180\left(n-2\right)$$

$$\frac{a\left(n+1\right)n}{2}=180\left(n-2\right)$$

$$a=\frac{360\left(n-2\right)}{n\left(n+1\right)}$$

El mayor ángulo (na) no debe sobrepasar los 180º, porque sino no sería convexo. Es decir:

$$na=n\frac{360\left(n-2\right)}{n\left(n+1\right)}<180$$

$$\frac{360\left(n-2\right)}{n+1}<180$$

$$n<\frac{900}{180}=5$$

Como $n\ge 3$, solo es posible para $n=3yn=4$

Como se puede comprobar para $n=5$, $a$ vale $36$, y los ángulos serían $36,72,108,144,180$, lo que no es posible.

La solución es por tanto que hay 2 valores de n

Problema 7. Una esfera en un cubo en una esfera

Un esfera tiene inscrita un cubo. A su vez este cubo tiene inscrita una esfera. Hallad la relación entre los radios, superficies y volúmenes de las dos esferas

Solución problema 7

Solución al problema 7

Enunciado del  problema 7

Relación de radios

$$\frac{\frac{a}{2}}{r}=\frac{a}{2r}=\frac{\frac{2r}{\sqrt{3}}}{2r}=\frac{2r}{2r\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Relación de áreas

$${\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2=\frac{1}{3}$$

Relación de volúmenes

$${\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^3=\frac{1}{3\sqrt{3}}$$

Problema 6. Un esfera en un cubo. CM2009623

Un esfera tiene inscrita un cubo. Estimar el porcentaje de volumen de la esfera que representa el volumen del cubo

Solución problema 6

Solución problema 6

Enunciado problema 6

Como $2r=a\sqrt{3}\Rightarrow a=\frac{2r}{\sqrt{3}}$ por tanto

Volumen esfera=$\frac{4\pi r^3}{3}$

Volumen cubo=$a^3$=$\frac{8r^3}{3\sqrt{3}}$

En porcentaje

$$100\frac{\frac{4\pi r^3}{3}}{\frac{8r^3}{3\sqrt{3}}}=100\frac{24r^3}{12\sqrt{3}\pi r^3}=100\frac{2}{\sqrt{3}\pi }\simeq 37$$

Problema 5. CM2009622

Sea Z el número de números de 8 cifras, todas ellas distintas y ninguna de las cuales es 0, ¿Cuántos números de 8 cifras, ninguna de la cuales es 0, son divisibles por 9?

Solución al problema 5

Solución del problema 5

Enunciado del problema 5

Como el criterio de divisibilidad por 9 es que la suma de sus cifras sea múltiplo de 9, ya que tenemos 8 cifras, faltará una.

Cifra que falta	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Suma de las demás	44	43	42	41	40	39	38	37	36

Por lo tanto solamente cuando están las cifras del 1 al 8, el número es divisible por 9. Hay por tanto $8!$ números o sea $\frac{z}{9}$ que sean divisibles por 9

Problema 4. Mas operaciones

Demostrar que si $x+y=\sqrt{a}$ y $x-y=\sqrt{b}$ y $ab$ es un cuadrado, entonces $\frac{x^2}{y^2}-\frac{y^2}{x^2}$ es racional

Solución problema 4

Solución problema 4.

Enunciado problema 4

Como

$$\frac{x^2}{y^2}-\frac{y^2}{x^2}=\frac{x^4-y^4}{{\left(xy\right)}^2}=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2-y^2\right)}{{\left(xy\right)}^2}=$$

$$=\frac{\left[{\left(x+y\right)}^2-2xy\right]\left(x+y\right)\left(x-y\right)}{{\left(xy\right)}^2}=\frac{\left(a-\frac{a-b}{2}\right)\sqrt{ab}}{{\left(\frac{a-b}{4}\right)}^2}$$

Problema 3. CM2009523

El Canguro tiene 2009 cubos unidad 1 x 1 x 1 que dispone formando un paralelepípedo. También tiene 2009 pegatinas que utiliza para colorear la superficie exterior del paralelepípedo, Un vez terminado le sobran pegatinas. ¿Cuántas?

Solución problema 3 (primera)

Solución problema 3 (generalización)

Solución problema 3. (primera)

Enunciado problema 3

2009=7 x 7 x 41. Por tanto las dimensiones son 7 x 7 x 41. El número de pegatinas coincide con el área total del paralelepípedo que es 41 x 7 x 4 + 7 x 7 x 2=1246. Sobran por tanto 2009 - 1246 = 763

Solución problema 3 (generalización)

Enunciado problema 3

Generalización

En general un paralelepípedo de tamaño m x n x p tiene área lateral: m x n x 2+ m x p x 2 + n x p x 2. Además si las dimensiones son m, n y p, y la ecuación de tercer grado que tiene como soluciones esos tres valores es

$x^3+a{x}^2+bx+c=0$

Entonces la ecuación $x^3+4a{x}^2+2bx+c=0$ tiene como soluciones respectivamente, la suma de los lados, la suma de las áreas de todas las caras y el volumen

Problema 2. Dos corredores alrededor de un estadio. CM2009621

Dos corredores A y B corren alrededor de la pista de un estadio. Cada uno de ellos lo hace a una velocidad constante. A corre más rápido que B, y tarda 3 minutos en dar una vuelta al estadio. Si A y B empiezan a la vez, 8 minutos después de empezar A, dobla a B por primera vez. ¿Cuánto tarda B en dar una vuelta al estadio?

Solución problema 2 (primera) 
Solución problema 2 (segunda)

Solución problema 2 (primera)

Enunciado problema 2

Puesto que A tarda 8 minutos en encontrar a B, habrá recorrido 2 estadios y $2/3$, es decir,$8/3$ de estadio. B, mientras habrá perdido una vuelta por lo tanto habrá recorrido $5/3$ de estadio. Medido en tercios de estadio, cuando A recorre 8, B recorre 5. Por tanto la relación entre sus velocidades es

$$V_B=\frac{5V_A}{8}\Rightarrow V_B/V_A=5/8$$

Llamemos $V_A=1estadio/3minutos$. Por tanto $V_A=1/3estadio/minuto$, y por tanto

$V_B=\frac{5}{8}\cdot \frac{1}{3}estadio/minuto$

$V_B=\frac{5}{24}estadio/minuto$

Como la velocidad y el tiempo son inversamente proporcionales para un espacio constante, resulta que el tiempo que tarda B es $24/5$ minutos en recorrer el estadio, es decir 4 minutos y 48 segundos

Solución al problema 2 (segunda)

Enunciado problema 2

El problema se puede generalizar Sea a, el tiempo que tarda A en dar una vuelta al estadio $T_A$ Sea b, el tiempo que tarda en alcanzar A a B. En el momento de alcanzarle A habrá recorrido $\frac{b}{a}$ estadios y B habrá recorrido $\frac{b-a}{b}$ estadios

$$\frac{V_B}{V_A}=\frac{\frac{b}{a}-1}{\frac{b}{a}}=\frac{b-a}{b}$$

Si $V_A=\frac{1}{a}estadios/minuto$ y $V_B=\frac{b-a}{b}\cdot \frac{1}{a}estadios/minuto$

Y por tanto tiempo empleado por B será

$T_B=\frac{ab}{b-a}$ expresado en las mismas unidades en que se dieron a y b

Problema 1. Unas operaciones para calentar. CM2009523

Si $x+y=\sqrt{5}$ y $x-y=\sqrt{3}$ entonces . ¿Cuánto es $\frac{x^2}{y^2}-\frac{y^2}{x^2}$ ?

Solución problema 1

Solución problema 1

Enunciado problema 1

Como

$$\{\begin{array}{cc}\begin{array}{c}x+y=\sqrt{5}\\ x-y=\sqrt{3}\end{array}& x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2};y=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}\end{array}$$

Por tanto

$$\frac{x^2}{y^2}-\frac{y^2}{x^2}=\frac{x^4-y^4}{{\left(xy\right)}^2}=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2-y^2\right)}{{\left(xy\right)}^2}$$

Como

$$xy=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}$$

$$x^2-y^2=\left(x+y\right)\left(x-y\right)=\sqrt{15}$$

$$x^2+y^2={\left(x+y\right)}^2-2xy=5-2\cdot \frac{1}{2}=4$$

Entonces en

$$\frac{4\sqrt{15}}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=16\sqrt{15}$$