Solución problema 12

Supongamos que $r_n$ es el resto de dividir $a_n$ por 7. Es decir $a_n=\dot{7}+r_n$ Entonces

$a_{n+2}=\dot{7}+r_n+\left(\dot{7}+r_{n+1}\right){}^2=\dot{7}+r_n+\dot{7}+\dot{7}{r}_{n+1}+r_{n+1}^2=\dot{7}+r_n+r_{n+1}^2$

Esto quiere decir que el resto de dividir $a_{n+2}$ entre 7 es el mismo que el resto de dividir $\dot{7}+r_n+r_{n+1}^2$. Estudiemos los primeros casos para deducir una pauta.

n	Resto de $r_n+r_{n+1}^2$entre 7	n	Resto de $r_n+r_{n+1}^2$entre 7
0	1	14	6
1	2	15	0
2	5	16	6
3	6	17	1
4	6	18	0
5	0	19	1
6	6	20	1
7	1	21	2
8	0	22	5
9	1	23	6
10	1	24	6
11	2	25	0
12	5	26	6
13	6	27	1

Observamos que a partir del número 10, los restos se repiten en ciclos de 10 números. (Se debe probar por inducción). Por tanto el resto correspondiente a 2009 será el mismo que el correspondiente a $\frac{2009}{10}$ es decir 9. Como el resto correspondiente al 9 es 1, éste será el resultado.

Resto de la división 1