Solución problema 16

Enunciado problema 16

$$\sqrt{2+\sqrt{3}}=a+b\sqrt{3}\Rightarrow 2+\sqrt{3}=a^2+3b^2+2ab\sqrt{3}$$$$\begin{array}{c}{a}^2+3b^2=2\\ 2ab=1\end{array}$$

$$\frac{1}{4b^2}+3b^2=2\Rightarrow 12b^4-8b^2+1=0$$

$$b^2=\frac{8\pm \sqrt{64-48}}{24}=\{\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \Rightarrow a=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{1}{6}& \Rightarrow a=\frac{\sqrt{6}}{2}\end{array}& \end{array}$$

En ambos casos resulta $\sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)$

La otra demostración es prácticamente idéntica