Solución al problema 99

Enunciado del problema 99

Como $33=3\cdot 11=3\cdot 11\cdot 1$ y $M+B+E+R\ge 0+1+2+3=6$, las letras $N$ y $U$ solo pueden ser $3$ y $1$.Como el valor del resto de las letras ha de ser diferente a ellas $M+B+E+R\ge 0+2+4+5=11$, que coincide con el otro factor, por tanto $M+B+E+R=11$, y las letras $M,B,E,R$ tienen que tomar los valores $0,2,4,5$ y ser distintas. Esto se puede hacer de $4!$ maneras y a su vez a $N$ y $U$ se pueden asignar valores de dos maneras diferentes. En total hay $2\cdot 4!=48$ posibilidades

Problema 99. CM2014521

En la ecuación $$ N × U × ( M+B+E+R )=33 , cada letra representa una cifra diferente entre $\left(0,1,2,3,\dots ,9\right)$. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden elegir los valores de las leras?

Solución al problema 99

Solución al problema 98

Enunciado del problema 98

Etiquetamos los vértices y analizamos uno por uno los ángulos. Si el lado del cubo mide 2, hay dos clases de triángulos según la longitud de los lados.

Clase $\alpha$

Triángulo de lados $\sqrt{2}$ . Ángulo de 60º

Clase $\beta$

Triángulo de lados $\sqrt{2},\sqrt{2}$ y $\sqrt{6}$. Ángulo 120º

Clase $\alpha$		Clase $\beta$
ABC	$60º$	BCD	$120º$
CDE	$60º$	DEF	$120º$
EFG	$60º$	FGH	$120º$
GHI	$60º$	HIJ	$120º$
IJK	$60º$	JKL	$120º$
KLA	$60º$	LAB	$120º$

En total $6\cdot 60º+6\cdot 120º=1080º$

Problema 98. CM2014628

En la figura se muestra un polígono cuyos vértices son los puntos medios de las aristas del cubo.

Se define en la forma usual el ángulo interior de un polígono: es el ángulo entre los lados del polígono que confluyen en ese vértice. ¿Cuál es la suma de todos los ángulos interiores del polígono?

Solución al problema 98

Solución al problema 97

Enunciado del problema 97

Visto desde arriba
Nivel inferior			Nivel medio			Nivel superior
N	B	B	B	X	B	B	B	B
B	X	X	N	X	B	B	B	B
B	B	N	B	B	B	N	B	N
N	Cubo negro
B	Cubo blanco
X	Posible cubo negro

En total el mayor número de cubos negros que puede tener es 3+3+2=8

Problema 97. CM2014523

La figura muestra el mismo cubo desde dos perspectivas diferentes. Está construido con 27 cubos unidad, algunos de ellos coloreados y los demás blancos. ¿Cuál es el mayor número de cubos coloreados que pueden tener?

Solución al problema 95. CM2016526

Enunciado del problema 95

Con $8$ vértices podemos format $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)$ triángulos, o sea $56$.

En cada cara hay 4 vértices. Eligiendo tres de ellos, podemos formar $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)$ vértices, es decir 4. Como hay $6$ caras, habrá un total de $24$ triángulos cuyos vértices están en las caras. Por tanto el número de triángulos cuyos vértices no están en las caras será de $56-24=32$

Problema 95. CM2016526

Tres vértices cualesquiera de un cubo forman un triángulo. ¿Cuál es el número de esos triángulos cuyos vértices NO están en la misma cara del cubo?

Solución al problema 95

Solución página 94

Enunciado del problema 94

Llamando $\alpha =\widehat{TPS}$

$\widehat{PTO}=90º$

$\widehat{TQP}=180º-90º-\alpha$

$\widehat{TQS}=180º-\left(90º-\alpha \right)=90º+\alpha$

$\widehat{PQO}=\widehat{TQS}=90º+\alpha$

$\widehat{TOP}=90º-2\alpha$

$\widehat{TOR}=180º-\widehat{TOP}=180º-\left(90º-2\alpha \right)=90º+2\alpha$

$\widehat{RTO}=\frac{180º-\widehat{TOR}}{2}=\frac{180º-\left(90º+2\alpha \right)}{2}=\frac{90º-2\alpha }{2}=45º-\alpha$

$\widehat{TSP}=180º-\widehat{TQS}-\widehat{RTO}=180º-\left(90º+\alpha \right)-\left(45º-\alpha \right)=$

$180º-90º-\alpha -45º+\alpha =45º$