Problema 108. CM2014511

Este año (2014) la suma de las edades de una abuea, su hija y su nieta es 100. ¿En que año nació la nieta si las tres edades son potencias de 2?

Solución al problema 108

Solución al problema 107

Enunciado del problema 107

La distancia del clavo al cuadro será

$$t=\sqrt{1-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{4-a^2}}{2}$$

Por tanto la altura total será $\frac{\sqrt{4-a^2}}{2}+h$. Cuanto mayor sea esta altura, mas cercano al suelo estará.

a	h	$\frac{\sqrt{4-a^2}}{2}+h$
$0.6$	$0.4$	$1.35$
$1.2$	$0.5$	$1.3$
$1.2$	$0.9$	$1.7$
$1.6$	$0.6$	$1.2$
$1.6$	$1$	$1.6$

El mas cercano al suelo será el de dimensiones 120 x 90

Problema 107. CM2014512

Colgamos varios cuadros rectangulares en la pared. Para cada uno de ellos ponemos un clavo en la pared a una altura de 205m sobre el suelo y a las dos esquinas superiores de cada cuadro atamos una cuerda de 2m de largo. ¿Cuál de los siguientes cuadros, cuyas dimensiones (ancho x alto) se dan en cm, queda mas cerca del suelo?

60 x 40 ; 120 x 50 ; 120 x 90 ; 160 x 60 ; 160 x 100

Solución al problema 107

Solución al problema 106

Enunciado del problema 106

En el trapecio, si $DC=l$, como en el triángulo $CMB$ la hipotenusa es $BC=l$, y es isósceles, entonces $CM=\frac{l}{\sqrt{2}}$

$$AB=\frac{l}{\sqrt{2}}+l+\frac{l}{\sqrt{2}}=l\left(1+\frac{2}{\sqrt{2}}\right)=l\left(\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right)=l\left(1+\sqrt{2}\right)$$

El área del trapecio es $\frac{B+b}{2}\cdot h$

$$A_{trapecio}=\frac{l\left(1+\sqrt{2}\right)+l}{2}\cdot \frac{l}{\sqrt{2}}=3\Rightarrow \frac{l^2\left(2+\sqrt{2}\right)}{2\sqrt{2}}=3\Rightarrow l^2=\frac{6\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=6\sqrt{2}-6$$

La apotema es $\frac{AB}{2}$, por tanto

$$A_{total}=8l\cdot l\left(\frac{1+\sqrt{2}}{2}\right)\frac{1}{2}=\frac{8}{4}\left(1+\sqrt{2}\right)\left(6\sqrt{2}-6\right)=12\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)=12$$

Problema 106. Canguro matemático 2014514

La parte gris del octógono regular de la figura tiene un área de $3c{m}^2$.¿Cuál es el área del octógono?

Solución al problema 106

Solución al problema 105

Enunciado del problema 105

En total se utilizarán $9+11+13+18+22+13=96$ minutos. Por tanto, habiendo dos baños la mejor organización es la qe mejor se aproxime a $96:2=48$ minutos en cada baño. Como el de $23$ debe estar en uno de los baños, quedan $48-23=25$ minutos. La suma de los demás que mas se acerca a los $25$ minutos es $13+11=24$. Por tanto los cuartos de baño deberán ser utilizados por $23+13+11=47$ y $9+18+22=49$. Es decir, se podrán poner a desayunar a las $7:49$

Problema 105. Canguro Matemático 2014513

Seis personas comparten un piso con dos cuartos de baño, que se usan cada mañana empezando a las 7h en punto. Ningún cuarto de baño es utilizado por dos personas al mismo tiempo. Se sientan a desayunar tan pronto como la última persona termina. Tardan 9,11,13,18,22 y 23 minutos en usar el cuarto de baño respectivamente. Si están organizados. ¿Cuál es la hora mas temprana a la que pueden desayunar?

Solución al problema 105

Solución al problema 104

Enunciado del problema 104

Supongamos que tenemos en fila 1007 mentirosos y a continuación 1077 veraces. Contemos a la izquierda y a la derecha de los individuos 1007 (mentiroso) y 1008 (veraz).

Un mentiroso (cuya posición estará entre 1 y 1007) tendrá menos de 1007 mentirosos a su izquierda (no se cuenta él mismo) y 1007 veraces a su derecha, por tanto objetivamente no tendrá mas mentirosos a su izquierda que veraces a su derecha, pero como siempre miente, contestará que “Hay mas mentirosos a mi izquierda que veraces a mi derecha”.

Un veraz (cuya posición estará entre 1008 y 2014), tendrá 1007 mentirosos a su izquierda y menos de 1007 veraces a su derecha. Por tanto, como dice la verdad, contestará que “Hay mas mentirosos a mi izquierda que veraces a mi derecha”. Por tanto hay 1007 mentirosos

Veamos ahora que ésta es la única posibilidad.

Si hubiera otra cantidad de mentirosos, por ejemplo 1000, dispuestos en una fila de 1000 mentirosos y a continuación 1024 veraces, el individuo 1001, sería veraz. A su izquierda habría 1000 mentirosos y a su derecha 1023 veraces, con lo que respondería que a su izquierda NO hay mas mentirosos que veraces a su derecha, en contra de lo que se supone inicialmente.

Veamos ahora que solo pueden estar en la posición descrita mas arriba (primero los mentirosos y a continuación los veraces).

Intercambiemos dos individuos uno veraz y otro mentiroso de un grupo a otro. Por ejemplo el 500 del grupo de los mentirosos y el 1500 del grupo de los veraces. Habrá entonces una fila de 499 mentirosos, 1 veraz,

Problema 104. CM2014530

Hay 2014 personas en una fila. Algunas siempre mienten y otras siempre dicen la verdad. Cada persona dice “Hay mas mentirosos a mi izquierda que veraces a mi derecha”. ¿Cuántos mentirosos hay?

Solución del problema 104