Solución al problema 129

Enunciado del problema 129

Esta es una excelente aproximación de $\pi$ debida a Ramanujan, citado en el libro LA PROPORCIÓN TRANSCENDENTAL escrito por Alfred Posamentier e Ingmar Lehmann, Ed.Ariel

Sea $\overline{AB}$ el diametro del círculo cuyo centro es O.

a) Dividimos en dos el arco $\widehat{ABC}$ en C y en tres $\overline{AO}$ en T.

$$CB=r\sqrt{2}=AC$$$$AT=\frac{r}{3}$$

b) Unimos $\overline{BC}$ y lo cortamos de $\overline{CM}$ y $\overline{MN}$ igual a AT.

$$AT=CM=MN=\frac{r}{3}$$

c) Unimos $\overline{AM}$, y $\overline{AN}$ y lo cortamos en P con $\overline{AM}=\overline{AP}$

$$AM=\sqrt{AC{}^2+M{C}^2}=\sqrt{(r\sqrt{2}{)}^2+{\left(\frac{r}{3}\right)}^2}=\sqrt{2r^2+\frac{r^2}{9}}=\sqrt{\frac{19r^2}{9}}=\frac{r\sqrt{19}}{3}\Rightarrow$$

$$AM=AP=\frac{r\sqrt{19}}{3}$$

$$AN=\sqrt{AC{}^2+N{C}^2}=\sqrt{(r\sqrt{2}{)}^2+{\left(\frac{2r}{3}\right)}^2}=\sqrt{2r^2+\frac{4r^2}{9}}=\sqrt{\frac{22r^2}{9}}=\frac{r\sqrt{22}}{3}$$

d) A través de P trazamos $\overline{PQ}$ paralela a $\overline{MN}$ y que se une a $\overline{AM}$ en Q.

$$\frac{AQ}{AM}=\frac{AP}{AN}\Rightarrow AQ=\frac{AP\cdot AM}{AN}=\frac{\frac{r\sqrt{19}}{3}\cdot \frac{r\sqrt{19}}{3}}{\frac{r\sqrt{22}}{3}}=\frac{19r}{3\sqrt{22}}$$

e) Unimos $\overline{OQ}$ y a través de T trazamos $\overline{TR}$, paralela a $\overline{OQ}$ y que se une a $\overline{AQ}$ en R.

$$AR=\frac{19r}{3\sqrt{22}}\cdot \frac{1}{3}=\frac{19r}{9\sqrt{22}}$$

f) Trazamos AS perpendicular a $\overline{AO}$ e igual a AR, y que se une a $\overline{OS}$.

$$OS=\sqrt{A{S}^2+A{O}^2}=\sqrt{\frac{19r^2}{1782}+r^2}=r\sqrt{1+\frac{19^2}{1782}}$$

g)La media proporcional entre OS y OB es prácticamente igual a un sexto de la circunferencia.

Recordemos que la media proporcional se puede obtener geométricamente así

Sea a, b las medidas, construimos una semicircunferenica de diámetro a+b. Trazamos una perpendicular a dicho diámetro por un punto situado a una distancia b de uno de los extremos, hasta el corte con la circunferencia. Dicha altura es la media proporcional.

En efecto por el teorema de la altura, al ser un triángulo rectángulo

$$h^2=ab\Rightarrow \frac{h}{a}=\frac{b}{h}$$

y por tanto h es la media proporcional.

En nuestro caso hay que calcular:

$$Mediaproporcional=\sqrt{OS\cdot OB}=\sqrt{r\sqrt{1+\frac{19^2}{1782}}r}=r\sqrt[4]{\frac{2143}{1782}}$$

Calculando el valor

$3\cdot \sqrt[4]{\frac{2143}{1782}}\simeq \mathrm{3.1415926525826461252...}\simeq \pi =\mathrm{3.1415926535897932384...}$

La diferencia entre el valor calculado y el verdadero valor de$\pi$es de $1.004461\cdot 10^{-9}$

Problema 129

Esta es una excelente aproximación de $\pi$ debida a Ramanujan, citado en el libro LA PROPORCIÓN TRANSCENDENTAL escrito por Alfred Posamentier e Ingmar Lehmann, Ed.Ariel

Sea $\overline{AB}$ el diametro del círculo cuyo centro es O.

a) Dividimos en dos el arco $\widehat{AB}$ en C y en tres $\overline{AO}$ en T.

b) Unimos $\overline{BC}$ y lo cortamos de $\overline{CM}$ y $\overline{MN}$ igual a AT.

c) Unimos $\overline{AM}$, y $\overline{AN}$ y lo cortamos en P con $\overline{AM}=\overline{AP}$

d) A través de P trazamos $\overline{PQ}$ paralela a $\overline{MN}$ y que se une a $\overline{AM}$ en Q.

e) Unimos $\overline{OQ}$ y a través de T trazamos $\overline{TR}$, paralela a $\overline{OQ}$ y que se une a $\overline{AQ}$ en R.

f) Trazamos AS perpendicular a $\overline{AO}$ e igual a AR, y que se une a $\overline{OS}$.

Demostrar que la media proporcional entre OS y Ob es prácticamente igual a un sexto de la circunferencia.

Solución al problema 129

Solución al problema 128

Enunciado del problema 127

Si la suma de puntos obtenidos por los dos primeros lanzamientos es igual a la del tercero, entonces la suma debe ser menor o igual que 6. Las posibilidades son:

11	21	31	41	51
12	22	32	42
13	23	33
14	24
15

Por tanto la probabilidad es $\frac{7}{15}$

Problema 128

Se lanza un dado tres veces. Si el número de puntos obtenido en el tercer lanzamiento es igual a la suma de los dos primeros,¿cuál es la probabilidad de que el 2 haya aparecido al menos una vez?

Solución al problema 128

Solución al problema 127

Enunciado del problema 127

Si ab, significa a=primera cifra, y b=última cifra, para que la cifra del medio sea media aritmética de los extremos, la suma de ellas ha de ser par, por tanto a y b han de ser, simultáneamente pares o impares.

Clasifiquemos ab, según la cifra final (b)

Cifra final	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Posibilidades	20	11	22	13	24	15	26	17	28	19
	40	31	42	33	44	35	43	37	48	39
	60	51	62	53	64	55	66	57	68	59
	80	71	82	73	84	75	86	77	88	79
	$$	91	$$	93	$$	95	$$	97	$$	99

Total $4\times 5+5\times 5=45$

Problema 127. Canguro Matemático 2010528

¿Cuántos números de tres cifras son tales que la cifra del medio es la media aritmética de las otras dos?

Solución al problema 127

Solución al problema 126

Enunciado del problema 126

Supongamos que la primera difra es un 1. La segunda cifra puede ser 2,5,4 y para cada una de ellas hay varias posibilidades. Se explican es esta tabla:

Cifras			Posibilidades 4ª cifra	Total 2ª cifra	Total 1ª cifra
1	2	3
1	2	1	3	24	80
		3	3
		4	5
		5	8
		6	5
	5	1	3	32
		2	5
		3	3
		4	5
		6	5
		7	3
		8	5
		9	3
	4	1	3	24
		2	5
		5	8
		7	3
		8	5

Las tres primera columnas de la tabla pueden leerse de izquierda a derecha como un diagrama en árbol. La cuarta columna solo contine las posibilidades que hay para una cuarta cifra, según la elección de las tres anterirores. En la quinta columna está la suma de las posibilidades que hay una vez que se han elegido la primera y segunda cifra, y en la última columna están las posibilidades que hay cuando se ha elegido la primera cifra.

Por simetría, lo mismo que para las combinaciones que empiezan por 1, se puede decir de las combinaciones de cifras que empiezan por 3, 7 y 9.

Estudiemos las posibilidades que hay si empezamos por 2

Cifras			Posibilidades 4ª cifra	Total 2ª cifra	Total 1ª cifra
1	2	3
2	4	1	3	24	116
		2	5
		2	5
		5	8
		8	5
		7	3
	5	1	3	32
		2	5
		3	3
		4	5
		6	5
		7	3
		8	5
		9	3
	6	3	3	24
		2	5
		5	8
		9	3
		8	5
	1	2	5	18
		4	5
		5	8
	3	2	5	18
		5	8
		6	5

Por simetría, ocurrirá lo mismo para las posiciones 4,6 y 8

Estudiemos las posibilidades para 5

Cifras			Posibilidades 4ª cifra	Total 2ª cifra	Total 1ª cifra
1	2	3
5	6	3	3	24
		2	5
		5	8
		8	5
		9	3
	3	2	5	18
		5	8
		6	5

Para completar esta tabla, las cifras de la segunda columna correspondientes a 2,4 y 8 son las mismas que las de 6, y las cifras de la segunda columna correspondientes a 1, 7 y 9 son las mismas que las de 3. Por tanto el número de posibilidades de cifras que comienzan por 5 son 18+24+18+24+24+18+24+18, que corresponden a las que tienen como segunda cifra 1,2,3,4,6,7,8 y 9. En total 168.

Sumando todas las posibilidades de que la primera cifra sea 1,2,3,4,5,6,7,8 y 9, será respectivamente 80+116+80+116+168+116+80+116+80=952

Problema 126

La clave de un teléfono móvil consta de 4 cifras. Al teléfono se accede pasando el dedo sobre la pantalla y tocando los círculos correspondientes a cada número, empezando por cualquier cifra, pero sin levantar el dedo de la pantalla.Por ejemplo 1512 es posible, pero no son posibles 1125 ni 5697.¿Cuántas claves distintas podemos hacer?

Solución al problema 126