Solución al problema 132

Enunciado del problema 132

Como $x_1,x_2$ son recíprocos, sean $x_1=a$ y $x_2=\frac{1}{a}$. Como las dos deber ser soluciones entonces

$$a^5-209a+56=\frac{1}{a^5}-\frac{209}{a}+56$$

Y operando

$$a^5-209a=\frac{1}{a^5}-\frac{209}{a}\Rightarrow a^5-209a=\frac{1-209a^4}{a^5}\Rightarrow a^{10}-209a^6+209a^4-1=0$$

Evidentemente esta ecuación tiene como soluciones $a=1$ y $a=-1$, que no son soluciones de nuestro problema, pues ninguna de ellas es raíz de $P\left(x\right)$

Descomponiendo por Ruffini por ejemplo

Con lo cual

$$a^{10}-209a^6+209a^4-1=\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^8+a^6-208a^4+a^2+1\right)$$

Nuestra raíz debe estar en el último polinomio de la descomposición.

Haciendo $a^2=z$ queda

$$z^4+z^3-208z^2+z+1=z^4+1-208z^2+z^3+z=0$$

Dividiendo por $z^2$

$$z^2+\frac{1}{z^2}-208+z+\frac{1}{z}=0$$

Y haciendo $z+\frac{1}{z}=t$

$$t^2-2-208+t=0\Rightarrow t=\{\begin{array}{c}14\\ -15\end{array}.$$

Caso t=14

$$z+\frac{1}{z}=14\Rightarrow z^2-14z+1=0\Rightarrow z=7\pm 4\sqrt{3}$$

Tomando $z=7+4\sqrt{3}\Rightarrow a^2=7+4\sqrt{3}$, y tomando la raíz positiva $a=\sqrt{7+4\sqrt{3}}$.

Para calcular esto hacemos $\sqrt{7+4\sqrt{3}}=m+n\sqrt{3}$

$$7+4\sqrt{3}=m^2+3n^2+2mn\sqrt{3}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{m}^2+3n^2=7\\ 2mn=4\end{array}.\Rightarrow \{\begin{array}{c}m=2\\ n=1\end{array}.$$

Es decir $\sqrt{7+4\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$. Ésta será una de las soluciones. La otra será $\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$

El polinomio que contiene a ambas raíces será, sumándolas y multiplicándolas $x^2-4x+1$.

Dividiendo P(x) entre este polinomio queda:

$P\left(x\right)=\left(x^2-4x+1\right)\left(x^3+4x^2+15x+56\right)$

que es una factorización del polinomio dado.

Problema 132. Olimpiada matemática

Sobre el anillo de los números enteros se pide descomponer el polinomio $P\left(x\right)=x^5-209x+56$ en producto de dos factores, sabiendo que se anula para dos valores $x_1,x_2$ recíprocos entre sí.

Solución al problema 132

Solución al problema 131

Enunciado del problema 131

Sumamos $1+2+3+\dots +n=\frac{\left(n+1\right)n}{2}$

Esto tiene que ser un número de tres cifras iguales, del tipo $kkk$

Por tanto $n\left(n+1\right)=2\cdot k\cdot 111=\Rightarrow n\left(n+1\right)=2\cdot k\cdot 3\cdot 37$

Como $n\left(n+1\right)$ son números consecutivos y $37$ es primo, $6k$ tiene que ser $36$ o $38$. Como $38$ no es divisible por $6$, $6k=36=\Rightarrow k=6=\Rightarrow n=36$. La suma pedida será $3+6=9$.

Problema 131. CM2013627

La suma de los primeros $n$ números enteros positivos es un número de tres cifras iguales. ¿Cuánto vale la suma de las cifras de n?

Solución al problema 131

Solución al problema 130

Enunciado del problema 130

Calculemos las coordenadas de algunos puntos

Coordenadas de D: $\left(a,y_1\right)$

Como $$\frac{OQ}{OP}=\frac{MQ}{BP}\Rightarrow \frac{x_1}{a}=\frac{y_1}{BP}\Rightarrow BP=\frac{a{y}_1}{x_1}$$

Coordenadas de B:$\left(a,\frac{a{y}_1}{x_1}\right)$

Como

$$\frac{OP}{OP\text{'}}=\frac{DP}{NP\text{'}}\Rightarrow \frac{a}{OP\text{'}}=\frac{y_1}{\frac{a{y}_1}{x_1}}\Rightarrow OP\text{'}=\frac{a^2}{x_1}$$

Coordenadas de N:$\left(\frac{a^2}{x_1},\frac{a{y}_1}{x_1}\right)$

Tomamos

$\{\begin{array}{c}x=\frac{a^2}{x_1}\Rightarrow x^2=\frac{a^4}{x_1^2}\Rightarrow x_1^2=\frac{a^4}{x^2}\\ y=\frac{a{y}_1}{x_1}\Rightarrow y^2=\frac{a^2{y}_1^2}{x_1^2}\Rightarrow y_1^2=\frac{a^2{y}^2}{x^2}\end{array}.$

Como $(x_1-b{)}^2+y_1^2=b^2\Rightarrow x_1^2-2b{x}_1+y_1^2=0$

Y sustituyendo las coordenadas $x_1,y_1$

$$\frac{a^4}{x^2}-\frac{2b{a}^2}{x}+\frac{a^2{y}^2}{x^2}=0\Rightarrow a^4-2b{a}^{2}x+a^2{y}^2=0$$

$$a^2-2bx+y^2=0\Rightarrow y^2=2bx-a^2$$

que es una parábola

Problema 130. Olimpiada matemática. fase local

Dada la recta $x=a$, un punto $M\left(x_{1,}{y}_1\right)$, se proyecta ortogonalmente sobre $x=a$ en $D$ y se traza $OM$ que corta a $x=a$ en $B$. Una paralela a $OX$ por $B$ corta a $OD$ en $N$. Halla la ecuación del lugar geométrico de $N$ cuando $M$ describe la circunferenica $(x-b{)}^2+y^2=b^2$

Solución al problema 130