Solución 3 al problema 142

Enunciado del problema 142

Tenemos que $a_{n+3}=a_n+a_{n+1}-a_{n+2}\Rightarrow a_{n+3}+a_{n+2}-a_{n+1}-a_n=0$

Sustituyendo por el operador $\nabla$:

$\left({\nabla }^3+{\nabla }^2-\nabla -1\right)a_n=0$

Resolviendo la ecuación asociada

$x^3+x^2-x-x=\left(x-1\right)\cdot (x+1{)}^2$

Por la teoría de las diferencias finitas, si ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ son las raíces de la ecuación asociada, el término general $a_n$ es de la forma:

$a_n=A_1{\alpha }_1^n+A_2{\alpha }_2^n+\dots +A_n{\alpha }_n^n$, donde se ha de poner $n{A}_i$ si alguna de las ${\alpha }_i$ es doble.

En este caso

$a_n=A{1}^n+B(-1{)}^n+Cn(-1{)}^n$

Como sabemos que $a_1=1;a_2=2$ y $a_3=3$, resulta

$\{\begin{array}{c}1=A-B-C\\ 2=A+B+2C\\ 3=A-B-3C\end{array}.$

que tiene por soluciones $A=2;B=2$ y $C=-1$

Por tanto $a_n=2+(-1{)}^n(2-n)$

Si $n$ es impar $a_n=2-\left(2-n\right)=n$, y si $n$ es par $a_n=2+\left(2-n\right)=4-n$

En conclusión $a_{2010}=2+\left(2-2010\right)=-2006$

Solución 2 al problema 142

Enunciado del problema 142

Demostraremos por inducción estas dos proposiciones:

1) En la sucesión $a_n$, si $n$ es par $a_n=n$

2) En la sucesión $a_n$, si $n$ es impar, $a_n=4-n$

Demostración de la primera proposición

Supongamos que $n$ es impar

1º) Para los primeros casos: $a_1=1;a_3=3;a_5=5$

2º)Supongamos que $n$ es impar y $a_m=m$, para todo $m<n$, con $m$ impar

Vamos a demostrarlo para el caso $n$:

Si $n$ es impar, también lo son $n-2$ y $n-4$, por tanto $a_{n-2}=n-2$ y $a_{m-4}=n-4$

Entonces

$a_n=a_{n-3}+a_{n-2}-a_{n-1}=a_{n-3}+n-2-a_{n-1}$(1)

Además

$a_{n-1}=a_{n-4}+a_{n-3}-a_{n-2}=n-4+a_{n-3}-\left(n-2\right)=$

$n-4+a_{n-3}-n+2=a_{n-3}-2$

Sustituyendo en (1)

$a_n=a_{n-3}+n-2-\left(a_{n-3}-2\right)=a_{n-3}+n-2-a_{n-3}+2=n$

Demostración de la segunda proposición

Supongamos que $n$ es par

1º) Para los primeros casos $a_2=4-2=2;a_4=4-4=0$, que coincide con el valor de los primeros términos de la sucesión.

2º) Supongamos que $n$ es par y $a_m=4-m$, para todo $m<n$, con $m$ par

Si $n$ es par, también lo son $n-2$ y $n-4$, por tanto $a_{n-2}=4-\left(n-2\right)=6-n$ y $a_{n-4}=4-\left(n-4\right)=8-n$

Entonces

$a_n=a_{n-3}+a_{n-2}-a_{n-1}=a_{n-3}+6-n-a_{n-1}$(2)

Además

$a_{n-1}=a_{n-4}+a_{n-3}-a_{n-2}=8-n+a_{n-3}-\left(6-n\right)=2+a_{n-3}$

Sustituyendo en (2)

$a_n=a_{n-3}+6-n-\left(2+a_{n-3}\right)=a_{n-3}+6-n-2-a_{n-3}=4-n$

Por tanto $a_{2010}=2-2010=-2006$

Solución 1 al problema 142

Enunciado del problema 142

Primera solución

Haciendo unos cuantos términos de la sucesión tenemos:

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$a_n$	$1$	$2$	$3$	$1$	$5$	$-2$	$7$	$-4$	$9$
$n$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$\dots$
$a_n$	$-6$	$11$	$-8$	$13$	$-10$	$15$	$-16$	$17$	$\dots$

Se observa que el valor de la sucesión en los términos impares coincide con la sucesión. En cuanto a los pares, el valor de $$ a n es $n-4$ cambiado de signo, por tanto $a_{2010}=-\left(2010-4\right)=-2006$.

Problema 142. CM2010526

En la sucesión$$ 1,2,3,0,5,-2,7, … se tiene $a_1=1;a_2=2;a_3=3$ y para $n\ge 4$ vale $a_n=a_{n-3}+a_{n-2}-a_{n-1}$. ¿Cuál es el término $2010º$ de la sucesión?

Solución 1 al problema 142

Solución 2 al problema 142

Solución 3 al problema 142

Solución al problema 141

Enunciado del problema 141

Los finales de los números son $$ 0,2,4,6,8,0,2,4,6,8,0

Para que el producto termine en $$ 0 , debe ser múltiplo de $5$ y $2$. Por lo tanto como solo hay tres ceros y ningún cinco, estos tres son los que figuran en el producto

Problema 141. CM2010421

¿En cuántos ceros termina el producto $$ 1990 × 1992 × 1994 × … × 2008 × 2010 ?

Solución al problema 141

Solución al problema 140

Enunciado del problema 140

Tememos el siguiente esquema:

CONDICIONES					RESULTADO
Condición 1		Condición 2		Condición 3
				Múltiplo de 12	No hay ninguno
			$\nearrow$
		Mayor que 20
	$\nearrow$		$\searrow$
Termina en 5				Menor que 21	Imposible
	$\searrow$
		Termina en 9	$\to$		Imposible
				Múltiplo de 12	84
			$\nearrow$
		Mayor que 20
	$\nearrow$		$\searrow$
				Menor que 21	Imposible
Divisible por 7
				Múltiplo de 12	No hay ninguno
	$\searrow$		$\nearrow$
		Termina en 9
			$\searrow$
				Menor de 21	No hay ninguno

Por tanto el número es $84$

Problema 140. CM2010420

El profesor piensa un número natural y les dice a sis alumnos:

1) El número, o termina en 5 o es divisible por 7.

2) O es mayor de 20, o termina en 9.

3) O es múltiplo de 12 o es menor que 21.

¿De entre estos números, cuál ha pensado el profesor?

$12;25;49;60;84$

Solución al problema 140

Solución al problema 139

Enunciado del problema 139

Como

$\frac{20102010}{20112011}=\frac{2010\cdot 10001}{2011\cdot 10001}=\frac{2010}{2011}$

y

$\frac{201020102010}{201120112011}=\frac{2010\cdot 100010001}{2011\cdot 100010001}=\frac{2010}{2011}$

resulta $a=b=c$

Problema 139. CM2010419

Se considera $a=\frac{2010}{2011};b=\frac{20102010}{20112011};c=\frac{201020102010}{201120112011}$. ¿Cuál es mayor, menor o igual?

Solución al problema 139

Solución del problema 138

Enunciado del problema 138

Tenemos dos sucesiones. Una formada por los números por los que empieza cada fila y otra formada por los números por los que termina cada fila.

Hallemos el término general de cada una de ellas.

a)Primeros términos de cada fila.

Sucesión	2		4		8		14	$\dots$
Diferencia 1ª		2		4		6
Diferencia 2ª			2		2

El término general será

$2+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{1}\right)\cdot 2+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2}\right)\cdot 2=2+2\left(n-1\right)+\frac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{2}\cdot 2=$

$=2+2n-2+n^2-3n+2=n^2-n+2$

Si $n=60$, $a_{60}=3542$

b)Últimos términos de cada fila

Sucesión	2		6		12		20	$\dots$
Diferencia 1ª		4		6		8
Diferencia 2ª			2		2

El término general será

$2+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{1}\right)\cdot 4+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2}\right)\cdot 2=2+4\left(n-1\right)+\frac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{2}\cdot 2=$

$2+4n-4+n^2-3n+2=n^2+n$

Si $n=60$, $b_{60}=3660$

Luego en la fila 60 estarán todos los números pares entre $3542$ y $3660$.