Solución al problema 85

Enunciado del problema 85

Sea

$$\underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=a$$

Entonces

$$\begin{array}{ccc}a& =& \sqrt{k+a}\\ a^2& =& k+a\\ a^2-a-k& =& 0\\ a& =& \frac{1\pm \sqrt{1+4k}}{2}\end{array}$$

Como $k>0$, $\sqrt{1+4k}>1$, luego solo es posible la solución positiva puesto que todos los términos son positivos y $a_n>a_{n-1}$

$$a=\frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}$$

Problema 85. Olimpiadas matemáticas

Dada la sucesión

$a_1=\sqrt{k}$; $a_2=\sqrt{k+\sqrt{k}}$; $a_3=\sqrt{k+\sqrt{k+\sqrt{k}}}$, $\dots$

Demuestra que es convergente y halla el límite

Solución del problema 85

Solución al problema 84

Enunciado del problema 84

La suma de cada fila es la siguiente:

Fila n	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Suma	$1$	$9$	$35$	$91$	$189$

Se trata de obtener los números de la suma en función de n

Fila n	$1$	$9$	$35$	$91$	$189$
$▵n$	$8$	$26$	$56$	$98$
${▵}^{2}n$	$18$	$30$	$42$
${▵}^{3}n$	$12$	$12$

El término general en función de n, el número de fila será

$$1+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{1}\right)\cdot 8+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2}\right)\cdot 18+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{3}\right)\cdot 12=2n^3-3n^2+3n-1$$

Problema 84. Olimpiadas matemáticas

Dada la siguiente configuración de los números natuales

Solución al problema 84

$1$
$2$	$3$	$4$
$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$

halla la suma de los números situados en la n-ésima fila

Solución al problema 83

Enunciado del problema 83

Supongamos que a es el número de veces que se encuentran uno rojo y uno verde, para convertirse ambos en amarillo. Cada vez que ocurre esto, la población de los rojos y de los verdes disminuye en uno, y la de los amarillos aumenta en dos. Por tanto si las poblaciones R(13), V(15) y A(17), después de a contactos entre rojos y verdes será R(13-a), V(15-a), A(17+2a).

Si llamamos b al número de contactos entre rojos y amarillos para convertirse en verdes, y c al número de contactos entre verdes y amarillos para convertirse en rojos, tenemos;

Nº de contactos	Rojos	Verdes	Amarillos
$0$	$13$	$15$	$17$
$a$	$13-a$	$15-a$	$17+2a$
$ayb$	$13-a-b$	$15-a+2b$	$17+2a-b$
$abyc$	$13-a-b+2c$	$15-a+2b-c$	$17+2a-b-c$

Estudiaremos tres posibilidades

a) Todos se convierten en amarillos

$$\begin{array}{ccc}13-a-b+2c& =& 0\\ 15-a+2b-c& =& 0\\ 17+2a-b-c& =& 45\end{array}$$

Resolviendo esta ecuación

$$\begin{array}{ccc}a+b-2c& =& 13\\ -a+2b-c& =& -15\\ 3b-3c& =& -2\\ 3\left(b-c\right)& =& -2\end{array}$$

Lo que es imposible. Por tanto nunca podrá una población solo de amarillos.

b) Todos se convierten en verdes

$$\begin{array}{ccc}13-a-b+2c& =& 0\\ 15-a+2b-c& =& 45\\ 17+2a-b-c& =& 0\end{array}$$

Resolviendo esta ecuación

$$\begin{array}{ccc}-a-b+2c& =& -13\\ a-2b+c& =& -30\\ -3b+3c& =& -43\\ 3\left(c-b\right)& =& -43\end{array}$$

Como 43 no es mútimplo de 3, es imposible.

c) Todos se convierten en rojos

$$\begin{array}{ccc}13-a-b+2c& =& 45\\ 15-a+2b-c& =& 0\\ 17-2a-b-c& =& 0\\ -a-b+2c& =& 32\\ -3b+3c& =& 47\end{array}$$

Como 47 no es múltiplo de 3, tampoco es posible.

La situación no se puede dar.

Problema 83. Olimpiadas matemáticas

En la isla de Camelot viven 13 camaleones rojos, 15 verdes y 17 amarillos. Cuando dos de distinto color se encuentran, cambian simutáneamente al tercer color. ¿Podría darse la situación en la que todos tengan el mismo color?

Solución al problema 83

Solución al problema 82

Enunciado del problema 82

Sea el número $abc=100a+10b+c$, Sean los números de dos cifras $ab,ac$ y $bc$. Operando

$$\begin{array}{ccc}\frac{100a+10b+c}{2}& =& 10a+b+10a+c+10b+c\\ 100a+10b+c& =& 20a+2b+20a+2c+20b+2c\\ 60a-12b-3c& =& 0\\ c& =& 20a-4b\end{array}$$

Como a,b y c deben estar entre 0 y 9 (excepto a que debe ser distinto de 0), dando valores a a y b tenemos:

$a$	$b$	$c$
$1$	$3$	$8$
$1$	$4$	$4$
$1$	$5$	$0$
$2$	$8$	$8$
$2$	$9$	$4$

Como las tres cifras deben ser distintas, los números son 138, 150, 294

Problema 82. Olimpiadas matemáticas

Un número entero se escribe con tres cifras distintas. Obtenemos tres números de dos difras cada uno suprimiento la cifra de las centenas, la de las decenas y la de las unidades. La suma de estos tres números es la mitad del número de tres cifras incial.Halla el número inicial.

Solución al problema 82