Solución del problema 30

Enunciado del problema 30

Tenemos que $(x_1-b{)}^2+y_1^2=b^2$

El punto N será

$$N\left(\frac{a^2}{x_1},\frac{a{y}_1}{x_1}\right)$$

Sea

$$.\begin{array}{c}x=\frac{a^2}{x_1}\\ y=\frac{a{y}_1}{x_1}\end{array}\}\Rightarrow x_1=\frac{a^2}{x}\Rightarrow y=\frac{a{y}_1}{\frac{a^2}{x}}=\frac{y_{1}x}{a}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}_1=\frac{a^2}{x}\\ y_1=\frac{ay}{x}\end{array}.$$

Como $x_1^2-2b{x}_1+y_1^2=0$, sustituyendo

$$\begin{array}{ccc}{\left(\frac{a^2}{x}\right)}^2-2b\frac{a^2}{x}+\frac{a^2{y}^2}{x^2}& =& 0\\ \frac{a^4}{x^2}-\frac{2b{a}^2}{x}+\frac{a^2{y}^2}{x^2}& =& 0\\ a^4-2b{a}^{2}x+a^2{y}^2& =& 0\\ a^2-2bx+y^2& =& 0\\ y^2+a^2& =& 2bx\\ y^2-\left(-a^2\right)& =& 2bx\end{array}$$

Esto es una parábola de vértice el punto $x=\frac{a^2}{2b}$

Problema 30. Olimpiadas matemáticas

Dada la recta $x=a$, un punto $M\left(x_1,y_1\right)$ se proyecta ortogonalmente sobre$x=a$ en D y se traza OM que corta a$x=a$ en B. Una paralela a OX por B corta a OD en N, Halla el lugar geométrico de N cuando M describe la cirunferencia $(x-b{)}^2+y^2=b^2$

Solución del problema 30

Solución del problema 29

Enunciado del problema 29

Operando y haciendo $t=2^{co{s}^{2}x}$

$$\begin{array}{ccc}{2}^{se{n}^{2}x}+2^{co{s}^{2}x}& =& 2\sqrt{2}\\ 2^{1-co{s}^{2}x}+2^{co{s}^{2}x}& =& 2\sqrt{2}\\ \frac{2}{2^{co{s}^{2}x}}+2^{co{s}^{2}x}& =& 2\sqrt{2}\\ \frac{2}{t}+t& =& 2\sqrt{2}\\ t^2-2\sqrt{2}t+2& =& 0\Rightarrow t=\sqrt{2}\end{array}$$

Si $t=\sqrt{2}$

$$2^{co{s}^{2}x}=2^{\frac{1}{2}}\Rightarrow co{s}^{2}x=\frac{1}{2}\Rightarrow cosx=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow x=45º+45ºk,k\in Z$$

Haciendo $45+45k=2013\Rightarrow 45k=1968\Rightarrow k=43.7$

Luego las soluciones por defecto y por exceso serán para $k=44$ y $k=43$

$$\begin{array}{ccc}45+45\cdot 44& =& 2025\\ 45+45\cdot 43& =& 1980\end{array}$$

Problema 29. Olimpiada matemáticas 2013

Obtén los valores enteros de x mas próximos a 2013º, tanto por defecto como por exceso, que cumplen esta ecuación trigonométrica:

$$2^{se{n}^{2}x}+2^{co{s}^{2}x}=2\sqrt{2}$$

Solución del problema 29

Solución del problema 28

Enunciado del problema 28

Si llamamos $a,b,c$ a las raíces del polinomio resulta:

$$\begin{array}{ccc}a+b+c& =& -2\\ ab+ac+bc& =& +3\\ abc& =& -4\end{array}$$

$$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)$$

Despejando

$$a^2+b^2+c^2=(a+b+c{)}^2-2(ab+ac+bc)=(-2{)}^2-2\left(3\right)=4-6=-2$$

Además

$$\begin{array}{ccc}(a+b+c{)}^3& =& \left(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\right)\left(a+b+c\right)=\end{array}$$

$$=a^3+a{b}^2+a{c}^2+a^{2}b+b^3+b{c}^2+a^{2}c+b^{2}c+c^3+2\left(ab+ac+bc\right)\left(a+b+c\right)=$$

$$a^3+b^3+c^3+a{b}^2+a{c}^2+a^{2}b+b{c}^2+a^{2}c+b^{2}c+2\left(3\right)\left(-2\right)=(*)$$

Como

$$2\left(ab+ac+bc\right)\left(a+b+c\right)=a^{2}b+a^{2}c+abc+a{b}^2+abc+b^{2}c+abc+a{c}^2+b{c}^2=$$

$$=a^{2}b+a^{2}c+a{b}^2+b^{2}c+a{c}^2+b{c}^2+3abc$$

Despejando y sustituyendo en (*)

$$(*)=a^3+b^3+c^3+\left(ab+ac+bc\right)\left(a+b+c\right)-3abc-12$$

Despejando

$$a^3+b^3+c^3=(a+b+c{)}^3-(ab+ac+bc\left)\right(a+b+c)+3abc+12=$$

$$=(-2{)}^3-(3\left)\right(-2)+3(-4)+12=-2$$

Por tanto

$$a^3+b^3+c^3=a^2+b^2+c^2=a+b+c=-2$$

Problema 28. OM2013

Prueba que las sumas de las primeras, segundas y terceras potencias de las raíces del polinomio $p\left(x\right)=x^3+2x^2+3x$+4 valen lo mismo

Solución del problema 28

Solución del problema 27

Enunciado del problema 27

Como el ángulo $\widehat{TOC}=\widehat{COP}=\alpha \Rightarrow \widehat{TOP}=2\alpha$

Por tanto la pendiente de la recta OM será

$$tan2\alpha =\frac{2tan\alpha }{1-{tan}^2\alpha }=\frac{\frac{2a}{t}}{1-\frac{a^2}{t^2}}=\frac{2at}{t^2-a^2}$$

La ecuación de la recta OM es $y=\frac{2at}{t^2-a^2}x$ para cada t (a es constante)

Cortándola con la recta $x=t$ nos da como coordenada de $M=\left(t,\frac{2a{t}^2}{t^2-a^2}\right)$

Luego la ecuación del lugar geométrico es

$$y=\frac{2a{x}^2}{x^2-a^2}$$

cuya gráfica aproximada es

Problema 27. Olimpiadas matemáticas

Una circunferencia de radio 2 se mueve rodando sobre el eje de abscisas. En cada posición de la circunferenia se traza una tangente no horizontal a la misma que pasa por el origen O de coordenadas y que corta en M a la vertical que pasa por su centro C. Por M se traza la segunda tangente a la circunferencia (simétrica de la anterior OM respecto a la vertical CM) y que corta en A al eje OX.

a) Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos de M.

b) Dibujad la gráfica.

c) Demostrad que la recta AC, para todas las posiciones de la circunferencia pasa por un punto fijo.

Solución del problema 27

Solución del problema 26

Enunciado del problema 26

Suma de naturales hasta 10n que no sean múltiplos de 2 ni de 5

=

Suma de los naturales hasta 10n

-

Suma de los múltiplos de 2

-

Suma de los múltiplos de 5

+

Suma de los múltiplos de 10

$$\begin{array}{ccc}1+2+3+\dots +10n& =& \frac{\left(1+10n\right)10n}{2}=5n\left(1+10n\right)\\ 2+4+6+\dots +10n& =& 2\left(1+2+\dots +5n\right)=2\left(\frac{\left(1+5n\right)5n}{2}\right)=5n\left(1+5n\right)\\ 5+10+15+\dots +10n& =& 5\left(1+2+\dots +2n\right)=5\left(\frac{\left(1+2n\right)2n}{2}\right)=5n\left(1+2n\right)\\ 10+20+30+\dots +10n& =& 10\left(1+2+\dots +n\right)=10\frac{\left(n+1\right)n}{2}=5n\left(n+1\right)\end{array}$$

Por tanto la suma pedida es:

$$5n\left(1+10n\right)-50\left(1+5n\right)-5n\left(1+2n\right)+5n\left(n+1\right)=$$

$$5n\left(1+10n-1-5n-1-2n+n+1\right)=5n\left(4n\right)=20n^2$$

Problema 26

Dado un número $n$, hallad la suma de todos los números naturales hasta $10n$ que no sean múltiplos de $2$ ni de $5$

Solución del problema 26

Solución del problema 24

Enunciado del problema 24

Si llamamos l a la longitud de la base del triángulo, las líneas paralelas a la base también dividen la altura en 10 segmentos iguales. El área sombreada será (bases $\frac{9l}{10}$ y $\frac{8l}{10}$, altura $\frac{h}{10}$

$$A=\frac{\left(\frac{9l}{10}+\frac{8l}{10}\right)\frac{h}{10}}{2}=\frac{17lh}{200}$$

El área de los otros trapecios se calcula de forma parecida teniendo en cuenta que todos tienen una altura $\frac{h}{10}$y $\frac{9l}{10},\frac{8l}{10},\frac{7l}{10},\frac{6l}{10},\mathrm{...}$

El área será

$$\frac{17lh}{200}+\frac{13lh}{200}+\frac{9lh}{200}+\frac{5lh}{200}+\frac{lh}{200}=\frac{45lh}{200}$$

Como el área total del triángulo es $\frac{lh}{2}$ , entonces dividiendo uno por el otro, resulta que el porcentaje de área sombreada es del 45%

Problema 24. CM2010523

Los segmentos paralelos a la base dividen cada uno de los otros dos lados en 10 segmentos iguales. ¿Qué porcentaje del área del triángulo es gris?

Solución al problema 24

Solución del problema 23

Enunciado del problema 23

Puesto que pasa por (0,2), entonces d=2

Puesto que pasa por (1,0) y (-1,0), sustituyendo en la ecuación

$\begin{array}{cc}a+b+c+2& =0\\ -a+b-c+2& =0\end{array}$

Es decir

$2b+4=0\Rightarrow b=-2$

Euler y pi^2/6 (1/2)

Porqué Euler dedujo que ${\sum }_{i=1}^{\infty }\frac{1}{i^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$

No se trata de dar una demostración rigurosa, sino simplemente de ver el genio de la demostración

1ª demostración.

Primero se toma un polinomio (¡considerado infinito!)

$$P\left(x\right)=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}+\dots$$

donde $P\left(0\right)=1$

Como

$$P\left(x\right)=x\left[\frac{1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\dots }{x}\right]=\frac{x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots }{x}=\frac{sen\left(x\right)}{x}$$

Si $P\left(x\right)=0$ entonces $sen\left(x\right)=0$, y sus infinitas raíces (?) son $x=\pm k\pi$, para $k=1,2,3,\dots$

Ahora factoricemos $P\left(x\right)$ (¡¡!!)

$$P\left(x\right)=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}+\dots$$

$$\left(1-\frac{x}{\pi }\right)\left(1-\frac{x}{-\pi }\right)\left(1-\frac{x}{2\pi }\right)\left(1-\frac{x}{-2\pi }\right)\left(1-\frac{x}{3\pi }\right)\left(1-\frac{x}{-3\pi }\right)\dots =$$

$$\left(1-\frac{x^2}{{\pi }^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{4{\pi }^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{{9\pi }^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{{16\pi }^2}\right)\dots$$

Es decir que escribió $P\left(x\right)$ de dos formas distintas, lo cual le permitió igualar los coeficientes resultantes de cada una de las descomposiciones.

Por tanto, haciendo el producto infinito e igualando

$$1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}+\dots =1-\left(\frac{1}{{\pi }^2}+\frac{1}{4{\pi }^2}+\frac{1}{9{\pi }^2}+\frac{1}{16{\pi }^2}+\dots \right)x^2+\dots$$

Igualando los coeficientes en $x^2$, resulta genialmente

$$-\frac{1}{3!}=-\left(\frac{1}{{\pi }^2}+\frac{1}{4{\pi }^2}+\frac{1}{9{\pi }^2}+\frac{1}{16{\pi }^2}+\dots \right)=-\frac{1}{{\pi }^2}\left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\dots \right)$$

Y por tanto

$$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\dots =\frac{{\pi }^2}{6}$$

Una demostración de infarto.

Problema 23. CM2007625

Solución del problema 23

La figura representa una parte de la gráfica de la función$f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. ¿Cuánto vale $b$?

Solución del problema 22

Enunciado del problema 22

En la primera vuelta la probabilidad de que Carlos gane es la de que pierdan Ana y Belinda y él gane, es decir:

$$P\left(Carlosgane\right)=\frac{3}{6}\cdot \frac{4}{6}\cdot \frac{1}{6}$$

En la segunda vuelta, la de que pierda él en la primera y gane él en la segunda, y así sucesivamente:

$$P\left(Carlosgane\right)=\frac{3}{6}\cdot \frac{4}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{3}{6}\cdot \frac{4}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{3}{6}\cdot \frac{4}{6}\cdot \frac{1}{6}+\mathrm{...}=$$

$$=\frac{1}{6}\left(\frac{3}{6}\cdot \frac{4}{6}+{\left(\frac{3}{6}\right)}^2{\left(\frac{4}{6}\right)}^2\left(\frac{5}{6}\right)+{\left(\frac{3}{6}\right)}^3\cdot {\left(\frac{4}{6}\right)}^3\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^2+\mathrm{...}\right)=\frac{1}{6}S$$

Cálculo de $S$

$$S=\frac{3}{6}\cdot \frac{4}{6}+{\left(\frac{3}{6}\right)}^2{\left(\frac{4}{6}\right)}^2\left(\frac{5}{6}\right)+{\left(\frac{3}{6}\right)}^3\cdot {\left(\frac{4}{6}\right)}^3\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^2+\mathrm{...}=$$

$$=\frac{3\cdot 4}{6^2}+\frac{5\cdot 3\cdot 4}{6^3}\cdot S\Rightarrow S=\frac{72+60\cdot S}{6^3}\Rightarrow S=\frac{6}{13}$$$$P\left(Carlosgane\right)=\frac{1}{6}\cdot \frac{6}{13}=\frac{1}{13}$$

Problema 22. CM2007623

Ana, Belinda y Carlos lanzan un dado. Ana gana si sale un 1, un 2 o un 3; Belinda gana si sale un 4 o un 5 y Carlos gana si sale un 6. El dado rota de Ana a Belinda, de Belinda a Carlos y de Carlos a Ana, etc. hasta que un jugador gane. Calculad la probabilidad de que Carlos gane.

Solución del problema 22