Problema 41

Dos puntos A y B distan 86Km. Un móvil m sale de A hacia B, con una velocidad v, y otro móvil n, sale a la vez de B hacia A, con una velocidad 3v. Cuando n encuentra a m, se vuelve hacia B y al llegar sale de nuevo hacia A. El proceso se repite hasta que las dos coinciden en B. ¿Cuál es la longitud total recorrida por n?. ¿Qué pasaría si n hubiera salido inicialmente también de A?

Solución del problema 41

Solución del problema 40

Enunciado del problema 40

Sea $z=R_{\alpha };\bar{z}=R_{-\alpha };z^3=R_{3\alpha }^3$

Tenemos que resolver $R_{-\alpha }=R_{3\alpha }^3$

$$\{\begin{array}{c}R=R^3\Rightarrow R^3-R=0\Rightarrow R\left(R+1\right)\left(R-1\right)=0\\ -\alpha =3\alpha +2k\pi ;k\in Z;-4\alpha =2k\pi \Rightarrow 4\alpha =2k\pi \Rightarrow \alpha =\frac{2k\pi }{4}\end{array}.$$

Como $R$ es una distancia y ha de ser mayor que 0,$R=1$, y dando valores a $k$

$k$	$\alpha$	$z$
0	0	$1_0=1$
1	$\frac{\pi }{2}$	$1_{\frac{\pi }{2}}=i$
2	$\pi$	$1_{\pi }=-1$
3	$\frac{3\pi }{2}$	$1_{\frac{3\pi }{2}}=-i$
Para k>3 se repiten

Problema 40

Halla todos los números complejos que verifiquen $\bar{z}=z^3$

Solución del problema 40

Solución del problema 39

Enunciado del problema 39

Tenemos que

$$d\left(A,B\right)=2r\Rightarrow d\left(A,C\right)=2r\sqrt{2}$$

$$d\left(M,N\right)=2R=d\left(A,C\right)+2d\left(A,N\right)=2r\sqrt{2}+2r\Rightarrow R=r\left(\sqrt{2}+1\right)$$

$$r=\frac{R}{\sqrt{2}+1}=R\left(\sqrt{2}-1\right)\simeq 0.4142R$$

Área círculo grande $\pi R^2$

Área 4 círculos pequeños $4\pi r^2=\left(12-8\sqrt{2}\right)\pi R^2$

Área entre ambos $\pi R^2\left(8\sqrt{2}-11\right)\simeq 0.3137R^2$

Problema 39. Olimpiadas matemáticas

Dada una circunferencia de radio R, considera 4 circunferencias iguales de radio r, tangentes a la dada y tangentes exteriores cada una de ellas con las otras. Expresar r en función de R, primero exactamente y luego con cuatro cifras decimales del correspondiente coeficiente. Hallar las áreas de los recintos que determinan.

Solución del problema 39

Solución del problema 37

Enunciado del problema 37

Para resolverlo vamos a considerar una esfera tal que es tangente a cada plano OXY, OXZ y OYZ. También vamos a suponer que el radio de la esfera es a

Por tanto el centro de la esfera tiene coordenadas $\left(a,a,a\right)$

La distancia desde el centro de la esfera al origen será $\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt{3}$. Si añadimos a a esta distancia, obtendremos uno de los puntos de corte de la recta que pasa por el origen y por el centro de la esfera, al cortarse con la esfera. El otro será $a\sqrt{3}-a$

Un esfera que contenga a ésta, sea tangente a ella y tenga por centro el origen de coordenadas tendrá por radio $a\left(\sqrt{3}+1\right)$. Por tanto si R es el radio de dicha esfera mayor, y a es el radio de la esfera pequeña, la relación sería:

$$R=a\left(\sqrt{3}+1\right)\Rightarrow a=\frac{R}{\sqrt{3}+1}=R\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

Si $R$ vale $1m$, entonces $a=100\frac{\sqrt{3}-1}{2}cm\simeq 36.60cm$

Problema 37. Olimpiadas matemáticas

Se considera una superficie esférica E de radio 1m y un triedro trirectángulo con vértice en el centro de la esfera. Se deben colocar ocho esferas de radio a en el interiror de E, de forma que cada una de ellas sea tangente a los tres planos de T y a la propia superficie E. Calcula el valor de a. Da el resultado en centímetros y con dos decimales

Solución del problema 37

Solución del problema 36

Enunciado del problema 36

$$\begin{array}{ccc}(x+y{)}^2& =& x^2+2xy+y^2\Rightarrow x^2+y^2=s^2-2p\\ (x^2+y^2{)}^2& =& x^4+2x^2{y}^2+y^4\Rightarrow x^4+y^4=(s^2-2p{)}^2-2p^2\\ (x+y{)}^4& =& x^4+4x^{3}y+6x^2{y}^2+4x{y}^3+y^4\\ (x-y{)}^4& =& x^4-4x^{3}y+6x^2{y}^2-4x{y}^3+y^4\end{array}$$

Sumando las dos últimas expresiones

$$(x+y{)}^4+(x-y{)}^4=2\left(x^4+6x^2{y}^2+y^4\right)$$

$$s^4+(x-y{)}^4=2((s^2-2p{)}^2-2p^2)+12p^2$$

Despejando y simplificando

$$(x-y{)}^4=s^4-8p{s}^2+16p^2$$

Problema 36. Olimpiadas matemáticas

Expresa $(x-y{)}^4$ como función polinómica de $s=x+y$ y $p=xy$

Solución del problema 36

Solución del problema 35

Enunciado del problema 35

Sea $\left(x,y\right)$ el afijo de $z=x+iy$

$$zi=\left(x+iy\right)i=xi-y=-y+xi$$

El afijo de este número complejo es $\left(-y,x\right)$

Por tanto deben de esstar alineados los puntos $\left(x,y\right),\left(-y,x\right),\left(0,1\right)$

La recta que une los dos últimos es

$$Y-1=\frac{1-x}{y}X$$

Como (x,y) debe pertenecer a esta recta para estar alineados:

$$y-1=\frac{1-x}{y}x\Rightarrow y^2-y=\left(1-x\right)x\Rightarrow y^2-y=x-x^2\Rightarrow x^2+y-x-y=0$$

$${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$$

Esto es una circunferencia de centro $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$y radio $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Problema 35. Olimpiadas matemáticas

Halla el lugar geométrico que ha de describir el afijo del complejo $z$ para que los afijos $z,iz,i$estén alineados

Solución del problema 35

Solución del problema 34

Enunciado del problema 34

Por el teorema de pitágoras, se comprueba que los lados iguales de los triángulos isósceles son $a\sqrt{2},a\sqrt{5}$ y $a\sqrt{10}$

Calculemos$cos\left(\frac{C}{2}+\frac{C\text{'}}{2}\right)$y$sen\left(\frac{C}{2}+\frac{C\text{'}}{2}\right)$

$$\begin{array}{ccc}cos\frac{C}{2}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}& \Rightarrow & sen\frac{C}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ cos\frac{C\text{'}}{2}=\frac{2a}{a\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}& \Rightarrow & sen\frac{C\text{'}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}\\ cos\frac{C\text{'}\text{'}}{2}=\frac{3a}{a\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}& \Rightarrow & sen\frac{C\text{'}\text{'}}{2}=\frac{\sqrt{10}}{10}\end{array}$$

Por tanto

$$cos\left(\frac{C}{2}+\frac{C\text{'}}{2}\right)=cos\left(\frac{C}{2}\right)cos\left(\frac{C\text{'}}{2}\right)-sen\left(\frac{C}{2}\right)sen\left(\frac{C\text{'}}{2}\right)=$$

$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{2\sqrt{5}}{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{\sqrt{10}}{10}$$

y por tanto

$$sen\left(\frac{C}{2}+\frac{C\text{'}}{2}\right)=\frac{3\sqrt{10}}{10}$$

Calculemos ahora $cos\left(\frac{C}{2}+\frac{C\text{'}}{2}+\frac{C\text{'}\text{'}}{2}\right)$

$$cos\left(\frac{C}{2}+\frac{C\text{'}}{2}+\frac{C\text{'}\text{'}}{2}\right)=cos\left(\frac{C}{2}+\frac{C\text{'}}{2}\right)cos\left(\frac{C\text{'}\text{'}}{2}\right)-sen\left(\frac{C}{2}+\frac{C\text{'}}{2}\right)sen\left(\frac{C\text{'}\text{'}}{2}\right)=$$

$$\frac{\sqrt{10}}{10}\cdot \frac{3\sqrt{10}}{10}-\frac{3\sqrt{10}}{10}\cdot \frac{\sqrt{10}}{10}=0$$

En consecuencia $\frac{C+C\text{'}+C\text{'}\text{'}}{2}=90º$y por tanto $C+C\text{'}+C\text{'}\text{'}=180º$

Problema 34. Olimpiadas matemáticas

Sobre un segmento $AB=2a$ tomado como base, se construyen tres triángulos isósceles $ACB,AC\text{'}B,$y$AC\text{'}\text{'}B,$ de alturas a, 2a y 3a. Demostrar que $\hat{C}+\widehat{C\text{'}}+\widehat{C\text{'}\text{'}}=180º$

Solución del problema 34

Solución del problema 33

Enunciado del problema 33

Como $\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

$$S_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$$

Problema 33. Olimpiadas matemáticas

Halla la suma

$$S_n=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots +\frac{1}{n\cdot \left(n+1\right)}$$

Solución del problema 33

Solución del problema 32

Enunciado del problema 32

$$\sqrt[4]{6561}\cdot 12^{\sqrt{x}}=6^x$$

Como$\sqrt[4]{6561}=\sqrt[4]{3^8}=9$

Tomando logaritmos

$$lo{g}_3\left(9\cdot 12^{\sqrt{x}}\right)=lo{g}_3{6}^x\Rightarrow 2+\sqrt{x}lo{g}_{3}12=xlo{g}_{3}6$$

$$2+\sqrt{x}\left(1+2lo{g}_{3}2\right)=x\left(1+lo{g}_{3}2\right)$$

Llamando $k=lo{g}_{3}2$

$$\begin{array}{ccc}2+\sqrt{x}\left(1+2lo{g}_{3}2\right)& =& x\left(1+lo{g}_{3}2\right)\\ \sqrt{x}\left(1+2k\right)& =& x\left(1+k\right)\\ \sqrt{x}\left(1+2k\right)& =& x\left(1+k\right)-2\\ x(1+2k{)}^2& =& x^2(1+k{)}^2-4(1+k)x+4\\ x^2(1+k{)}^2+x(-4\left(1+k\right)-\left(1+2k{)}^2\right)+4& =& 0\\ x^2(1+k{)}^2+x(-4-4k-1-4k-4k^2)+4& =& 0\\ x^2(1+k{)}^2+x(-4k^2-8k-5)+4& =& 0\\ x^2(1+k{)}^2-x[4(k+1{)}^2+1]+4& =& 0\end{array}$$

Se puede comprobar directamente o por Ruffini que

$$x^2(1+k{)}^2-x[4(k+1{)}^2+1]+4=(x-4\left)\right(x-\frac{1}{(1+lo{g}_{3}2{)}^2})$$

cuyas raíces son $4$ y $\frac{1}{(1+lo{g}_{3}2{)}^2}$, donde ésta última no resuelve la ecuación de partida

Problema 32. Olimpiadas matemáticas

Resuelve sin calculadora la ecuación $\sqrt[4]{6561}\cdot 12^{\sqrt{x}}=6^x$

Solución del problema 32