Solución al problema 119

Enunciado del problema 119

Supongamos que $E\left[\frac{N}{3}\right]=kkk$ (como cifras)

$kkk=k\cdot 111=3\cdot k\cdot 37$

Como $1+2+\dots +n=\frac{\left(n+1\right)n}{2}$

Igualando

$$3\cdot k\cdot 37=\frac{\left(n+1\right)n}{2}\Rightarrow 3\cdot 2\cdot k\cdot 37=\left(n+1\right)n$$

Como 37 es primo hay dos posibilidades

a) $n+1=37\Rightarrow n=36\Rightarrow 3\cdot 2\cdot k=36\Rightarrow k=6$

b) $n=37\Rightarrow n+1=38\Rightarrow 3\cdot 2\cdot k=38\Rightarrow k$ no es entero, lo que no es posible

Por tanto

$E\left[\frac{N}{3}\right]=666\Rightarrow N=3\cdot 666+2=2000$ (año de la olimpiada)

Problema 119. Olimpiadas matemáticas 2000

Encuentra un número N que cumpla las siguientes condiciones

a) $E\left[\frac{N}{3}\right]$ tiene sus tres cifras iguales.

b) $E\left[\frac{N}{3}\right]$ es la suma de números naturales consecutivos comenzando en 1, es decir, existe un natural n tal que $E\left[\frac{N}{3}\right]=1+2+\dots +\left(n-1\right)+n$.

Solución al problema 119

Solución al problema 118

Enunciado del problema 118

Sea $p$ una solución común a $P\left(x\right)$ y $Q\left(x\right)$

$$\begin{array}{ccc}{p}^4+a{p}^3+b{p}^2+cp+1& =& 0\\ p^4+c{p}^3+b{p}^2+ap+1& =& 0\end{array}$$

Restando

$$\begin{array}{ccc}{p}^3\left(c-a\right)+p\left(a-c\right)& =& 0\\ p^3\left(c-a\right)-p\left(c-a\right)& =& 0\\ \left(c-a\right)\left(p^3-p\right)& =& 0\\ \left(c-a\right)p\left(p+1\right)\left(p-1\right)& =& 0\end{array}$$

Como $c/=a$, y $0$ no puede ser raíz de ninguno de los polinomios, las raíces deben ser las otras dos, es decir, $1$ y $-1$.

Sustituyendo en $P\left(x\right)$la raíz $1$ y en $Q\left(x\right)$ la raíz $-1$

$$\begin{array}{ccc}1+a+b+c+1& =& 0\\ 1-a+b-c+1& =& 0\end{array}$$

Sumando

$$2+2b+2=0\Rightarrow b=-2$$

Y finalmente, sustituyendo

$$1+a-2+c+1=0\Rightarrow c=-a$$

Los polinomios son

$$\begin{array}{ccc}P\left(x\right)& =& x^4+a{x}^3-2x^2-ax+1\\ Q\left(x\right)& =& x^4-a{x}^3-2x^2+ax+1\end{array}$$

Descomponiendo dichos polinomios, sabiendo que tienen las raíces $1$ y $-1$

$$\begin{array}{ccc}P\left(x\right)& =& \left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x^2+ax-1\right)\\ Q\left(x\right)& =& \left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x^2-ax-1\right)\end{array}$$

La raíces distitnas de $1$ y $-1$ son

$$\begin{array}{ccc}x& =& \frac{-a\pm \sqrt{a^2+4}}{2}\\ x& =& \frac{a\pm \sqrt{a^2+4}}{2}\end{array}$$

Problema 118. Olimpiadas matemáticas 2000

Sean los polinomios $P\left(x\right)=x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+1$ y $Q\left(x\right)=x^4+c{x}^3+b{x}^2+ax+1$. Halla las condiciones que deben cumplir los parámetros $a,b$y $c$ ($a$ distinto de $c$), para que $P\left(x\right)$ y $Q\left(x\right)$ tengan dos raíces comunes y resuelve en ese caso las ecuaciones $P\left(x\right)=0$ y $Q\left(x\right)=0$.

Solución al problema 118

Solución al problema 117

Enunciado del problema 117

Calculemos algunos valores de $f\left(n\right)$

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$\dots$
$f\left(n\right)$	$1$	$1$	$2$	$1$	$2$	$2$	$3$	$1$	$2$	$2$	$3$	$2$	$3$	$3$	$4$	$1$	$2$	$\dots$

La función vale1 en $2^s$ , y luego aumenta en una unidad los siguientes valores desde 1 hasta un máximo de $2^{s-1}$.

Además se puede demostrar que $f\left(2^N-1\right)=N$

En efecto

$$f\left(2^N-1\right)=f\left(2^{N-1}+2^{N-2}+\dots +2^2+1\right)=f\left(2^{N-2}+2^{N-3}+\dots +2^2+1\right)+1=$$

$$=f\left(2^{N-3}+\dots +2^2+1\right)+2=f\left(2^2+1\right)+N-2=f\left(1\right)+N-1=N$$

Por tanto el valor mas alto se alcanza siempre en un número anterior a una potencia de dos, y su valor coincide con el exponente de dicha potencia. El valor máximo de $f\left(n\right)$ cuando $n\le 2001$será el de $1023$, por ser el número anterior a $2^{10}$, y el valor será $10$.

Además el menor número natural $n$ tal que $f\left(n\right)=2001$, será $n=2^{2001}-1$

Problema 117. Olimpiadas matemáticas

Determina la función $f:N—\to N$(siendo $N=\left\{1,2,3,\dots \right\}$el conjunto de los números naturles que cumple, para cualesquiera $s,n\in N$, las siguientes condiciones:

$f\left(1\right)=f\left(2^s\right)=1$ y si $n<2^s$, entonces $f\left(2^s+n\right)=f\left(n\right)+1$

Calcula el valor máximo de $f\left(n\right)$ cuando $n\le 2001$

Halla el menor número natural $n$ tal que $f\left(n\right)=2001$

Solución al problema 117

Solución al problema 116

Enunciado del problema 116

Utilizando las igualdades notables

$$\left(2^{2^N}+1\right)\left(2^{2^N}-1\right)={\left(2^{2^N}\right)}^2-1=2^{2^{2N}}-1$$

Y por tanto

$${\left[2^{2^{2N}}-1+1\right]}^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{2^{2N}}{2}}=2^{2^{2N-1}}$$

Igualando

$$2^{2^{2N-1}}=2^8\Rightarrow 2^{2N-1}=2^3\Rightarrow 2N-1=3\Rightarrow N=2$$