Solución del problema 48

Enunciado del problema 48

En primer lugar por el teorema del coseno $a^2=b^2+c^2-2bccosA$. Por tanto $b^2+c^2=a^2+2bccosA$

Si A es agudo $2bccosA>0$ luego $b^2+c^2>a^2$ y viceversa.

Si A es recto $2bccosA=0$ luego $b^2+c^2=a^2$ y viceversa.

Si A es obtuso $2bccosA<0$ luego $b^2+c^2<a^2$ y viceversa.

Sea ahora $se{n}^{2}A+se{n}^{2}B+se{n}^{2}C=2(*)$

Por el teorema del seno

$$\frac{senA}{a}=\frac{senB}{b}=\frac{senC}{c}\Rightarrow \frac{senA}{senC}=\frac{a}{c};\frac{senB}{senC}=\frac{b}{c}$$

Dividiendo $(*)$ por $se{n}^{2}C$ y sustutuyendo

$$\begin{array}{ccc}\frac{se{n}^{2}A}{se{n}^{2}C}+\frac{se{n}^{2}B}{se{n}^{2}C}+1& =& \frac{2}{se{n}^{2}C}\\ \frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}+1& =& \frac{2}{se{n}^{2}C}\\ \frac{a^2+b^2}{c^2}& =& \frac{2}{se{n}^{2}C}-1\end{array}$$

Si C es un ángulo recto, la igualdad se cumple obviamente

Si A, B y C son agudos:

Si C es agudo $=senC<1,se{n}^{2}C<1\Rightarrow \frac{2}{se{n}^{2}C}-1>1$, por tanto $\frac{a^2+b^2}{c^2}>1$

Si los tres ángulos son agudos, esta desigualdad es cierta para los tres ángulos, luego no puede ser igual.

Si uno de ellos es obtuso, por ejemplo C. Por lo visto mas arriba $b^2+a^2<c^2$

Sin embargo si se cumpliera esta desigualdad resultaría

$$\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{2}{se{n}^{2}C}-1>1$$

en contradicción con que C sea obtuso.