Solución del problema 46

Enunciado del problema 46

Tenemos que

$$(a+b{)}^2-c^2=(a+b+c\left)\right(a+b-c)=a^2+b^2+2ab-c^2$$

Como es rectángulo $a^2-c^2=b^2$

Por tanto en la ecuación anterior

$$\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)=b^2+b^2+2ab=2b^2+2ab=$$

$$=2b\left(a+c\right)\Rightarrow \frac{a+b+c}{a+b}=\frac{2b}{a+b-c}$$

Construimos entonces un triángulo $MNQ$, rectángulo en $M$, y la prolongación hasta $R$ del lado $MQ$, donde $MQ=a+b;MN=\left(a+b-c\right);MR=\left(a+b\right)+c$

Haciendo una paralela a $QN$ y cortando a la recta $MN$ en P, resulta $\frac{MR}{MQ}=\frac{MP}{MN}$. Por tanto $2b=MP$ y dividiendo en dos el segmento, obtenemos $b$. A partir de $b$, podemos construir $a$ fácilmente.