Problema 90. Olimpiadas matemáticas

Se considera un polinomio de grado 100, con coeficientes enteros, todos ellos distintos entre sí, cuyos valores absolutos son menores o iguales que 50. Determina si P(x) es divisible por x-1

Solución al problema 90

Solución al problema 89

Enunciado del problema 89

Sean los números $n-2;n$ y $n+2$

$$(n-2{)}^2+n^2+(n+2{)}^2=3n^2+8$$

Si el resultados queremos que sea del tipo $aaaa$

$$3n^2+8=a\cdot 1111$$

donde $1\le a\le 9$

Despejando

$$n^2=\frac{a\cdot 1111-8}{3}$$

Probando distintos valores de $a$ resulta $a=5$ y $n=43$

Los números son $41;43$ y $45$

$$41^2+43^2+45^2=5555$$

Problema 89. Olimpiadas matemáticas

Halla tres números naturales en progresión aritmética de diferencia 2, tales que la suma de sus cuadrados sea un número de 4 cifras iguales

Solución al problema 89

Solución al problema 88

Enunciado del problema 88

Como

$$1+\sqrt{3}i=2_{60};1-\sqrt{3}i=2_{-60}$$

$$(1+\sqrt{3}i{)}^n-(1-\sqrt{3}i{)}^n={\left(2_{60}\right)}^n-{\left(2_{-60}\right)}^n=$$

$$=2^n\left(cos\left(60n\right)+isen\left(60n\right)\right)-2^n\left(cos\left(-60n\right)+isen\left(-60n\right)\right)=$$$$=2^n\left(cos\left(60n\right)+isen\left(60n\right)-cos\left(-60n\right)-isen\left(-60n\right)\right)=$$

$$=2^n\left(2isen\right(60n)$$

$$=2^{n+1}isen\left(60n\right)(*)$$

Si $n=6k$

$$(*)=2^{n+1}i\left(sen\left(60\cdot 6k\right)\right)=2^{n+1}isen\left(360k\right)=0$$

Si $n=6k+1$

$$\begin{array}{ccc}(*)& =& 2^{n+1}i\left(sen\left(60\cdot \left(6k+1\right)\right)\right)=2^{n+1}isen\left(360k+60\right)=\end{array}$$

$$=2^{n+1}isen60=2^{n+1}i\frac{\sqrt{3}}{2}=2^n\sqrt{3}i$$

Si $n=6k+2$

$$(*)=2^{n+1}i\left(sen\left(60\cdot \left(6k+2\right)\right)\right)=2^{n+1}isen\left(360k+120\right)=$$

$${=2}^{n+1}isen120=2^{n+1}i\frac{\sqrt{3}}{2}=2^n\sqrt{3}i$$

Si $n=6k+3$

$$(*)=2^{n+1}i\left(sen\left(60\cdot \left(6k+3\right)\right)\right)=2^{n+1}isen\left(360k+180\right)=0$$

Si $n=6k+4$

$$(*)=2^{n+1}i\left(sen\left(60\cdot \left(6k+4\right)\right)\right)=2^{n+1}isen\left(360k+240\right)=$$

$${=2}^{n+1}isen240=-2^{n+1}i\frac{\sqrt{3}}{2}=-2^n\sqrt{3}i$$

Si $n=6k+5$

$$(*)=2^{n+1}i\left(sen\left(60\cdot \left(6k+5\right)\right)\right)=2^{n+1}isen\left(360k+300\right)=$$

$${=2}^{n+1}isen300=-2^{n+1}i\frac{\sqrt{3}}{2}=-2^n\sqrt{3}i$$

Problema 88

Halla el valor de $(1+\sqrt{3}i{)}^n-(1-\sqrt{3}i{)}^n$

Solución del problema 88

Solución al problema 87

Enunciado del problema 87

Sean $x_1,x_2$ las raíces de la ecuación

$$\begin{array}{ccc}{x}_1+x_2& =& -\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

Obtemos expresiones para $x_1^3+x_2^3$ y $x_1^3{x}_2^3$

$$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2{)}^3-3x_1^2{x}_2-3x_1{x}_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1{x}_2(x_1+x_2)=$$

$${\left(-\frac{b}{a}\right)}^3-3\cdot \frac{c}{a}\cdot \left(-\frac{b}{a}\right)=\frac{-b^3}{a^3}+\frac{3bc}{a^2}=\frac{-b^3+3abc}{a^3}$$

$$x_1^3{x}_2^3=(x_1{x}_2{)}^3={\left(\frac{c}{a}\right)}^3=\frac{c^3}{a^3}$$

Y por tanto la ecuación será

$$\begin{array}{ccc}{x}^2-\frac{-b^3+3abc}{a^3}x+\frac{c^3}{a^3}& =& 0\\ a^3{x}^2+\left(b^2-3abc\right)x+c^3& =& 0\end{array}$$

Problema 87. Olimpiadas matemáticas

Halla una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean los cubos de

$$a{x}^2+bx+c=0$$

Solución al problema 87