Solución al problema 77

Enunciado del problema 77

Multiplicando por $10000$ y simplificando

$$5000z+2500y+625z=14375\Rightarrow 8x+4y+z=23\Rightarrow z=23-8x-4y$$

Para x=1

$$z=23-4y-8=15-4y\Rightarrow 15-4y>0\Rightarrow \frac{15}{4}>y\Rightarrow y=1,2,3$$

Para x=2

$$z=23-4y-16=7-4y\Rightarrow 7-4y>0\Rightarrow \frac{7}{4}>y\Rightarrow y=1$$

Las posibles soluciones son

x	y	z
1	1	11
1	2	7
1	3	3
2	1	3

Problema 77. Olimpiadas matemáticas

Resuelve en los números naturales la ecuación $\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{16}=1,4375$

Solución al problema 77

Solución al problema 76

Enunciado del problema 75

Tomemos los intervalos $\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right),k\in Z,$

Para que las funciones $sen\left(x\right)$ y $\frac{x}{100}$ se corten, la función $f\left(x\right)=sen\left(x\right)-\frac{x}{100}$debe valer 0. Tomando valores en los extremos de dichos intervalos:

$$f\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)=sen\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)-\frac{\frac{\pi }{2}+2k\pi }{100}=1-\frac{\pi +4k\pi }{200}$$

Esta cantidad es positiva para

$$1-\frac{\pi +4k\pi }{200}>0\Rightarrow 1>\frac{\pi +4k\pi }{200}\Rightarrow \frac{200-\pi }{4k}>\pi \Rightarrow 15.66>\pi$$

Por tanto si $k=0,\dots ,15,f\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)>0$

Además

$$f\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)=sen\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)-\frac{\frac{3\pi }{2}+2k\pi }{100}=-1-\frac{3\pi +4k\pi }{200}$$

que es negativo si $k>0$. Por el teorema de Bolzno, existe una raíz en el intervalo $\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right),k=0,\dots ,15$

Si k=16, $\frac{\frac{\pi }{2}+2\cdot 16\pi }{100}=1.02$, y por tanto $sen\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)-\frac{\frac{\pi }{2}+2k\pi }{100}<0$, por tanto para $k>15$, $f\left(x\right)<0$, y a partir de $100$ no puede haber mas raíces

Tomemos ahora los intervalos $\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,\frac{5\pi }{2}+2k\pi \right)$, donde $k>0$

$$f\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)=sen\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)-\frac{\frac{3\pi }{2}+2k\pi }{100}=-1-\frac{3\pi +4k\pi }{200}<0$$

$$f\left(\frac{5\pi }{2}+2k\pi \right)=sen\left(\frac{5\pi }{2}+2k\pi \right)-\frac{\frac{5\pi }{2}+2k\pi }{100}=1-\frac{5\pi +4k\pi }{200}$$

Este último valor es positivo cuando

$$1-\frac{5\pi +4k\pi }{200}>0\Rightarrow 1>\frac{5\pi +4k\pi }{200}\Rightarrow \frac{200-5\pi }{4\pi }>k\Rightarrow k<14.6$$

Por el teorema de Bolzano, hay una raíz en el intervalo $\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,\frac{5\pi }{2}+2k\pi \right),k=0,\dots ,14$

Hay $15+16$ raíces positivas. Habrá otras tantas negativas, porque la función es simétrica respecto del origen. Además $\left(0,0\right)$ también es solución.

En total $31+31+1=63$

Problema 76. Olimpiadas matemáticas

¿Cuántas raíces tiene la ecuación $sen\left(x\right)=\frac{x}{100}$?

Solución al problema 76

Solución al problema 75

Enunciado del problema 75

Supondremos que $x,y,z$ pertenecen respectivamente a la 1ª, 2ª y 3ª bolsa. Como $x,y,z>0$, cada una de ellas debe valer al menos 1. Por tanto imaginemos un cubo de arista 1, donde $\left(x,y,z\right)$ son sus coordenadas en otro cubo de arista n.

El cubo grande representará el número de casos posibles ($n\cdot n\cdot n=n^3$), y se trata de encontrar el número de casos favorables, es decir el número de cubos cuyas coordenadas cumplan que $x+y=z$

Capa	coordenadas	Nº cubitos
$n$	$\left(n-1,1,n\right)\left(n-2,2,n\right)\dots (1,n-1,n$)	$n-1$
$n-1$	$\left(n-2,1,n-1\right)\left(n-3,2,n-1\right)\dots \left(1,n-2,n-1\right)$	$n-2$
$⋮$	$⋮$	$⋮$
$3$	$\left(2,1,3\right)\left(1,2,3\right)$	$2$
$$	$\left(1,1,2\right)$	$1$

En total

$$\left(n-1\right)+\left(n-2\right)+\dots +2+1=\frac{\left(n-1+1\right)\left(n-1\right)}{2}=\frac{n^2-n}{2}$$

y por tanto la probabilidad pedida es

$$p=\frac{\frac{n^2-n}{2}}{n^3}=\frac{n^2-n}{2n^3}=\frac{n-1}{2n^2}$$

Problema 75. Olimpiadas matemáticas

Se tienen tres bolsas, conteniendo n bolas numeradas por $1,2,3,\mathrm{...}n$. Se extraen, al azar, una bola de cada bolsa. Sean $x,y,z$ los números de las bolas extraídas. Calcula la probabilidad de que $x+y=z$

Solución del problema 75

Solución del problema 74

Enunciado del problema 74

Tomamos los puntos en que se anulan los valores absolutos y valoramos cada uno de ellos en los distintos intervalos

Función	- ∞		-1		0		1		2		+ ∞
|x+1|		-x-1		x+1		x+1		x+1		x+1
-|x|		x		x		-x		-x		-x
3|x-1|		-3x+3		-3x+3		-3x+3		3x-3		3x-3
-2|x-2|		2x-4		2x-4		2x-4		2x-4		-2x+4
Suma		-x-2		x		-x		5x-6		x+2

Igualando las sumas a $x+2$, solo puede ser $x\in \left[2,+\infty \right)$

Problema 74. Olimpiadas matemáticas

Resuelve la ecuación

$$|x+1|-\left|x\right|+3|x-1|-2|x-2|=x+2$$

Solución del problema 74

Solución 2 al problema 73

Enunciado del problema 73

Podemos suponer sin pérdida de generalidad que la circunferencia está centrada en el origen, de radio r y las rectas tangentes son paralelas al eje OX.

Sean las rectas $y=r;y=-r$ y la circunferencia $x^2+y^2=r^2$. Sea $\left(x_{0,}{y}_0\right)$ un punto de la circunferencia, y que verifica $x_0^2+y_0^2=r^2$.La recta tangente a la circunferencia en este punto será $y-y_0=-\frac{x_0}{y_0}(x-x_{0)}$. Cortando con cada una de las rectas paralelas nos queda:

$$r-y_o=-\frac{x_0}{y_0}\left(x-x_0\right)\Rightarrow x=\frac{r^2-y_{0}r}{x_0}$$

$$-r-y_o=-\frac{x_0}{y_0}\left(x-x_0\right)\Rightarrow x=\frac{r^2+y_{0}r}{x_0}$$

Los puntos $A$ y $B$ tienen por coordenadas

$$A=\left(\frac{r^2-y_{0}r}{x_0},r\right)$$

$$B=\left(\frac{r^2+y_{0}r}{x_0},-r\right)$$

Haciendo el producto escalar de los vectores $OA$ y $OB$, se comprueba que vale $0$, y por tanto son perpendiculares

$$OA\cdot OB=\frac{r^2-y_{0}r}{x_0}\cdot \frac{r^2+y_{0}r}{x_0}-r^2=\frac{r^4-y_0^2{r}^2}{x_0^2}-r^2=$$

$$\frac{r^2\left(r^2-y_0^2\right)}{x_0^2}-r^2=\frac{r^2{x}_0^2}{x_0^2}-r^2=0$$