Problema 98. CM2014628

En la figura se muestra un polígono cuyos vértices son los puntos medios de las aristas del cubo.

Se define en la forma usual el ángulo interior de un polígono: es el ángulo entre los lados del polígono que confluyen en ese vértice. ¿Cuál es la suma de todos los ángulos interiores del polígono?

Solución al problema 98

Solución al problema 97

Enunciado del problema 97

Visto desde arriba
Nivel inferior			Nivel medio			Nivel superior
N	B	B	B	X	B	B	B	B
B	X	X	N	X	B	B	B	B
B	B	N	B	B	B	N	B	N
N	Cubo negro
B	Cubo blanco
X	Posible cubo negro

En total el mayor número de cubos negros que puede tener es 3+3+2=8

Problema 97. CM2014523

La figura muestra el mismo cubo desde dos perspectivas diferentes. Está construido con 27 cubos unidad, algunos de ellos coloreados y los demás blancos. ¿Cuál es el mayor número de cubos coloreados que pueden tener?

Solución al problema 95. CM2016526

Enunciado del problema 95

Con $8$ vértices podemos format $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)$ triángulos, o sea $56$.

En cada cara hay 4 vértices. Eligiendo tres de ellos, podemos formar $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)$ vértices, es decir 4. Como hay $6$ caras, habrá un total de $24$ triángulos cuyos vértices están en las caras. Por tanto el número de triángulos cuyos vértices no están en las caras será de $56-24=32$

Problema 95. CM2016526

Tres vértices cualesquiera de un cubo forman un triángulo. ¿Cuál es el número de esos triángulos cuyos vértices NO están en la misma cara del cubo?

Solución al problema 95

Solución página 94

Enunciado del problema 94

Llamando $\alpha =\widehat{TPS}$

$\widehat{PTO}=90º$

$\widehat{TQP}=180º-90º-\alpha$

$\widehat{TQS}=180º-\left(90º-\alpha \right)=90º+\alpha$

$\widehat{PQO}=\widehat{TQS}=90º+\alpha$

$\widehat{TOP}=90º-2\alpha$

$\widehat{TOR}=180º-\widehat{TOP}=180º-\left(90º-2\alpha \right)=90º+2\alpha$

$\widehat{RTO}=\frac{180º-\widehat{TOR}}{2}=\frac{180º-\left(90º+2\alpha \right)}{2}=\frac{90º-2\alpha }{2}=45º-\alpha$

$\widehat{TSP}=180º-\widehat{TQS}-\widehat{RTO}=180º-\left(90º+\alpha \right)-\left(45º-\alpha \right)=$

$180º-90º-\alpha -45º+\alpha =45º$

Problema 94. CM2014527

En la figura PT es tangente a la circunferencia C de centro O y PS es la bisectriz del ángulo TPR. Calcula la medida del ángulo TSP

Solución del problema 94