Problema 67. Sangaku

En el triángulo hay inscritos tres cuadrados, y en los triángulos que quedan hay inscritos tres circunferenicas. ¿Cuál es la relación entre los radios de las circunferencias?

Solución al problema 67

Solución al problema 68

Supongamos

$$\begin{array}{ccc}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n-1}\right)=3003;& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n}\right)=2002;& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n+1}\right)=1001\end{array}$$

Entonces

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n-1}\right)=\frac{m!}{\left(n-1\right)!\left(m-n+1\right)!}=\frac{m!}{\left(n-1\right)!\left(m-n+1\right)\left(m-n\right)\left(m-n-1\right)!}$$

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n}\right)=\frac{m!}{\left(n\right)!\left(m-n\right)!}=\frac{m!}{n\left(n-1\right)!\left(m-n+1\right)\left(m-n\right)\left(m-n-1\right)!}$$

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n+1}\right)=\frac{m!}{\left(n+1\right)!\left(m-n+1\right)!}=\frac{m!}{\left(n+1\right)n\left(n-1\right)!\left(m-n-1\right)!}$$

En consecuencia

$$\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n+1}\right)}=\frac{\frac{m!}{n\left(n-1\right)!\left(m-n+1\right)\left(m-n\right)\left(m-n-1\right)!}}{\frac{m!}{\left(n+1\right)n\left(n-1\right)!\left(m-n-1\right)!}}=\frac{m!\left(n+1\right)n\left(n-1\right)!\left(m-n-1\right)!}{m!n\left(n-1\right)!\left(m-n\right)\left(m-n-1\right)!}=\frac{n+1}{m-n}=\frac{2002}{1001}=2$$

$$\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n-1}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n}\right)}=\frac{\frac{m!}{\left(n-1\right)!\left(m-n+1\right)\left(m-n\right)\left(m-n-1\right)!}}{\frac{m!}{n\left(n-1\right)!\left(m-n+1\right)\left(m-n\right)\left(m-n-1\right)!}}=\frac{m!n\left(n-1\right)!\left(m-n\right)\left(m-n-1\right)!}{m!\left(n-1\right)!\left(m-n+1\right)\left(m-n\right)\left(m-n-1\right)!}=$$

$$=\frac{n}{m-n+1}=\frac{3}{2}$$

y finalmemte

$$\{\begin{array}{c}2n=3\left(m-n+1\right)\\ n+1=2\left(m-n\right)\end{array}.\Rightarrow \{\begin{array}{c}m=14\\ n=9\end{array}.$$

La fila completa será

$1,14,91,364,1001,2002,3003,3003,2002,1001,364,91,14,1$

Solución problema 70

Elevando al cubo

$$N^3=45+29\sqrt{2}+3\sqrt[3]{(45+29\sqrt{2}{)}^2(45-29\sqrt{2})}+\sqrt[3]{\left(45+29\sqrt{2}\right)(45-29\sqrt{2}{)}^2}+45-29\sqrt{2}=$$

$$90+3\sqrt[3]{\left(45+29\sqrt{2}\right)\left(45+29\sqrt{2}\right)\left(45-29\sqrt{2}\right)}+3\sqrt[3]{\left(45+29\sqrt{2}\right)\left(45-29\sqrt{2}\right)\left(45-29\sqrt{2}\right)}=$$

$$90+3\sqrt[3]{\left(45+29\sqrt{2}\right)343}+3\sqrt[3]{\left(45-29\sqrt{2}\right)343}=90+21\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}+21\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}=$$

$$90+21\left(\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}+\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}\right)=90+21N$$

Por tanto $N$ es la solución de la ecuación $N^3-21N-90=0$. Esta exuación tiene como soluciones N=6, y otras dos raíces complejas no reales. Por tanto $N=6$

Solución al problema 66.

Enunciado del problema 66

Llamaremos $\frac{a}{b}=r$. La desigualdad es $r<\sqrt{2}<\frac{r+2}{r+1}$

Supongamos entonces que $r<\sqrt{2}$

Entonces

$$\begin{array}{ccc}r+1& <& \sqrt{2}+1\\ \frac{1}{\sqrt{2}+1}& <& \frac{1}{r+1}\\ 1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}& <& 1+\frac{1}{r+1}\\ \frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+1}& <& \frac{r+2}{r+1}\end{array}$$

Como $\frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}$, resulta$$\begin{array}{ccc}\sqrt{2}& <& \frac{r+2}{r+1}\end{array}$$

Problema 66. Olimpiadas matemáticas

Demuestra que siendo a y b enteros positivos $\frac{a}{b}<\sqrt{2}<\frac{a+2b}{a+b}$

Solución del problema 66

Solución del problema 65

Enunciado del problema 65

El número de divisores es $\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)$

Al dividir por a queda $a^{x-1}{b}^y{c}^z$, que tiene $x\left(y+1\right)\left(z+1\right)$ divisores

Al dividir por a queda $a^x{b}^{y-1}{c}^z$, que tiene $\left(x+1\right)y\left(z+1\right)$ divisores

Al dividir por a queda $a^x{b}^y{c}^{z-1}$, que tiene $\left(x+1\right)\left(y+1\right)z$ divisores

Por tanto $\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)-x\left(y+1\right)\left(z+1\right)=72$, es decir

$$\begin{array}{ccc}\left(y+1\right)\left(z+1\right)& =& 72\end{array}$$

Igualmente

$$\begin{array}{ccc}\left(z+1\right)\left(x+1\right)& =& 48\\ \left(y+1\right)\left(x+1\right)& =& 54\end{array}$$

Resolviendo el sistema

$$\begin{array}{ccc}y+1& =& \frac{72}{z+1}\\ x+1& =& \frac{48}{z+1}\end{array}$$

y sustituyendo en la tercera ecuación

$$\frac{72}{z+1}\cdot \frac{48}{z+1}=54\Rightarrow z=7;y=8;x=5$$

y el número será

$$n=a^5{b}^8{c}^7$$

Problema 65. Olimpiadas matemáticas

Un número descompuesto en factores primos $n=a^x{b}^y{c}^z$ disminuye el número de sus divisores en $72$, $48$ o $54$ al dividirlo por $a,boc$. Halla el valor de $n$

Solución del problema 65