Problema 138. CM2010418

Se considera la tabla numérica

1ª fila	2
2ª fila	4	6
3ª fila	8	10	12
4ª fila	14	16	18	20
$⋮$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$

¿Qué números hay en la fila 60?

Solución al problema 138

Solución al problema 137

Enunciado del problema 137

Sea $E$ el punto donde la bisectriz corta a la diagonal. $EB=2k;DE=5k$

En el triángulo $CBE$

$\frac{b}{sen\left(45+\alpha \right)}=\frac{2k}{sen45}\Rightarrow k=\frac{b\cdot sen45}{2sen\left(45+\alpha \right)}\left(1\right)$

En el triángulo $DCE$

$\frac{a}{sen\left(135-\alpha \right)}=\frac{5k}{sen45}\left(2\right)$

Sustituyendo (1) en (2) y $sen\left(135-\alpha \right)=sen\left(180-\left(135-\alpha \right)\right)=sen\left(45+\alpha \right)$

$\frac{a}{sen\left(135-\alpha \right)}=\frac{5b\cdot sen45}{2sen\left(45+\alpha \right)\cdot sen45}\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{5sen\left(135-\alpha \right)}{2sen\left(45+\alpha \right)}=\frac{5}{2}$

Si la bisectriz corta al lado AB en dos partes de tamaños $b-a$ y $a$, la relación buscada será:

$\frac{a-b}{b}=\frac{a}{b}-1=\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}$

o, inviertiendo el orden $2:3$

Problema 137. CM2010417

En un paralelogramo, la bisectriz de un ángulo divide a la diagonal (la que no pasa por el vértice) en la razón $$ 2:5 . ¿En qué razón divide al lado del paralelogramo?

Solución al problema 137

Solución al problema 136

Enunciado del problema 136

Como en la fórmula de Herón $s=\frac{a+b+c}{2}$, sustituyendo en la conocida fórmula de Herón

$$\begin{array}{ccc}{▵}^2& =& \frac{a+b+c}{2}\left(\frac{a+b+c}{2}-a\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-b\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-c\right)=\end{array}$$

$$\frac{\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}{16}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow 16{▵}^2=\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)$$

Por tanto solo hay que demostrar que

$$\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)=-\left|\begin{array}{cccc}0& a& b& c\\ a& 0& c& b\\ b& c& 0& a\\ c& b& a& 0\end{array}\right|$$

En efecto

$$\left|\begin{array}{cccc}0& a& b& c\\ a& 0& c& b\\ b& c& 0& a\\ c& b& a& 0\end{array}\right|\underset{⟶}{F_4+F_3+F_2+F_1}\left|\begin{array}{cccc}0& a& b& c\\ a& 0& c& b\\ b& c& 0& a\\ a+b+c& a+b+c& a+b+c& a+b+c\end{array}\right|=$$

$$=\left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{cccc}0& a& b& c\\ a& 0& c& b\\ b& c& 0& a\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right|\underset{⟶}{\begin{array}{c}{C}_4-C_1\\ C_3-C_1\\ C_2-C_1\end{array}}\left|\begin{array}{cccc}0& a& b& c\\ a& -a& c-a& b-a\\ b& c-b& -b& a-b\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right|=$$

$$=-\left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ -a& c-a& b-a\\ c-b& -b& a-b\end{array}\right|\underset{⟶}{C_1+C_2-C_3}=$$

$$=-\left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc}a+b-c& b& c\\ -a+c-a-b+a& c-a& b-a\\ c-b-b-a+b& -b& a-b\end{array}\right|=$$

$$=-\left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc}a+b-c& b& c\\ a\left(a+b-c\right)& c-a& b-a\\ -\left(a+b-c\right)& -b& a-b\end{array}\right|=$$

=$-\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left|\begin{array}{ccc}1& b& c\\ -1& c-a& b-a\\ -1& -b& a-b\end{array}\right|=$

$$\underset{⟶}{\begin{array}{c}{F}_2+F_1\\ F_3+F_1\end{array}}-\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left|\begin{array}{ccc}1& b& c\\ 0& c-a+b& b-a+c\\ 0& 0& a-b+c\end{array}\right|=$$

$$=-\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left|\begin{array}{cc}b+c-a& b+c-a\\ 0& a+c-b\end{array}\right|=$$

$$=-\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)$$

Problema 136

Demuestra la fórmula de Herón como resultado del cálculo de determinantes

$$$$ ▵ = s( s-a )( s-b )( s-c )

$$(4▵{)}^2=-|\begin{array}{cccc}0& a& b& c\\ a& 0& c& b\\ b& c& 0& a\\ c& b& a& 0\end{array}|$$

donde $$ ▵ es el área del triángulo y s el semiperímetro de un triángulo de lados a, b,c.

Solución al problema 136

Solución al problema 135

Enunciado del problema 135

Como $$ AB=6 y $FA=6$, resulta que los ángulos $\widehat{BFA}$ y $\widehat{FBA}$ son iguales. Como $\widehat{BAF}=30º$(es $90º-\widehat{EAD}$, con $\widehat{EAD}=60º$), resulta $\widehat{BFA}=\frac{180º-30º}{2}=75º$

Problema 135. CM2010416

$$ ABCD es un rectángulo y AED Un triángulo equilátero con $AB=6cm,AD=12cm$ y $F$ es el punto medio de $AE$. Halla la medida del ángulo $\widehat{AFB}$.

Solución al problema 135