Solución al problema 130

Enunciado del problema 130

Calculemos las coordenadas de algunos puntos

Coordenadas de D: $\left(a,y_1\right)$

Como $$\frac{OQ}{OP}=\frac{MQ}{BP}\Rightarrow \frac{x_1}{a}=\frac{y_1}{BP}\Rightarrow BP=\frac{a{y}_1}{x_1}$$

Coordenadas de B:$\left(a,\frac{a{y}_1}{x_1}\right)$

Como

$$\frac{OP}{OP\text{'}}=\frac{DP}{NP\text{'}}\Rightarrow \frac{a}{OP\text{'}}=\frac{y_1}{\frac{a{y}_1}{x_1}}\Rightarrow OP\text{'}=\frac{a^2}{x_1}$$

Coordenadas de N:$\left(\frac{a^2}{x_1},\frac{a{y}_1}{x_1}\right)$

Tomamos

$\{\begin{array}{c}x=\frac{a^2}{x_1}\Rightarrow x^2=\frac{a^4}{x_1^2}\Rightarrow x_1^2=\frac{a^4}{x^2}\\ y=\frac{a{y}_1}{x_1}\Rightarrow y^2=\frac{a^2{y}_1^2}{x_1^2}\Rightarrow y_1^2=\frac{a^2{y}^2}{x^2}\end{array}.$

Como $(x_1-b{)}^2+y_1^2=b^2\Rightarrow x_1^2-2b{x}_1+y_1^2=0$

Y sustituyendo las coordenadas $x_1,y_1$

$$\frac{a^4}{x^2}-\frac{2b{a}^2}{x}+\frac{a^2{y}^2}{x^2}=0\Rightarrow a^4-2b{a}^{2}x+a^2{y}^2=0$$

$$a^2-2bx+y^2=0\Rightarrow y^2=2bx-a^2$$

que es una parábola