Solución al problema 132

Enunciado del problema 132

Como $x_1,x_2$ son recíprocos, sean $x_1=a$ y $x_2=\frac{1}{a}$. Como las dos deber ser soluciones entonces

$$a^5-209a+56=\frac{1}{a^5}-\frac{209}{a}+56$$

Y operando

$$a^5-209a=\frac{1}{a^5}-\frac{209}{a}\Rightarrow a^5-209a=\frac{1-209a^4}{a^5}\Rightarrow a^{10}-209a^6+209a^4-1=0$$

Evidentemente esta ecuación tiene como soluciones $a=1$ y $a=-1$, que no son soluciones de nuestro problema, pues ninguna de ellas es raíz de $P\left(x\right)$

Descomponiendo por Ruffini por ejemplo

Con lo cual

$$a^{10}-209a^6+209a^4-1=\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^8+a^6-208a^4+a^2+1\right)$$

Nuestra raíz debe estar en el último polinomio de la descomposición.

Haciendo $a^2=z$ queda

$$z^4+z^3-208z^2+z+1=z^4+1-208z^2+z^3+z=0$$

Dividiendo por $z^2$

$$z^2+\frac{1}{z^2}-208+z+\frac{1}{z}=0$$

Y haciendo $z+\frac{1}{z}=t$

$$t^2-2-208+t=0\Rightarrow t=\{\begin{array}{c}14\\ -15\end{array}.$$

Caso t=14

$$z+\frac{1}{z}=14\Rightarrow z^2-14z+1=0\Rightarrow z=7\pm 4\sqrt{3}$$

Tomando $z=7+4\sqrt{3}\Rightarrow a^2=7+4\sqrt{3}$, y tomando la raíz positiva $a=\sqrt{7+4\sqrt{3}}$.

Para calcular esto hacemos $\sqrt{7+4\sqrt{3}}=m+n\sqrt{3}$

$$7+4\sqrt{3}=m^2+3n^2+2mn\sqrt{3}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{m}^2+3n^2=7\\ 2mn=4\end{array}.\Rightarrow \{\begin{array}{c}m=2\\ n=1\end{array}.$$

Es decir $\sqrt{7+4\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$. Ésta será una de las soluciones. La otra será $\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$

El polinomio que contiene a ambas raíces será, sumándolas y multiplicándolas $x^2-4x+1$.

Dividiendo P(x) entre este polinomio queda:

$P\left(x\right)=\left(x^2-4x+1\right)\left(x^3+4x^2+15x+56\right)$

que es una factorización del polinomio dado.