Solución al problema 125.

Enunciado del problema 125

Aplicando el teorema del coseno tenemos la siguiente relación

$$k^2={\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}^2+{\left(b\sqrt{2}\right)}^2-2b\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=a^2+3b^2-b\sqrt{6\left(a^2+b^2\right)}$$

Por lo tanto

$$k+b=a\Rightarrow \sqrt{a^2+3b^2-b\sqrt{6\left(a^2+b^2\right)}}+b=a\Rightarrow$$

$${\left(a-b\right)}^2=a^2+3b^2-b\sqrt{6\left(a^2+b^2\right)}\Rightarrow$$

$$a^2+b^2-2ab=a^2+b^2+2b^2-b\sqrt{6\left(a^2+b^2\right)}\Rightarrow 2b^2-b\sqrt{6\left(a^2+b^2\right)}+2ab=0$$

$$\Rightarrow 2b-\sqrt{6\left(a^2+b^2\right)}+2a=0\Rightarrow 6\left(a^2+b^2\right)=(2a+2b{)}^2\Rightarrow$$

$$\begin{array}{ccc}6a^2+6b^2& =& 4a^2+4b^2+8ab\Rightarrow {2a^2+2b^2=8ab\Rightarrow a}^2+b^2=4ab\Rightarrow \end{array}$$

$$\frac{a^2}{b^2}+1=4\cdot \frac{a}{b}$$

Haciendo $\frac{a}{b}=r$

$$r^2+1=4r\Rightarrow r^2-4r+1=0\Rightarrow r=\frac{4\pm \sqrt{16-4}}{2}=\frac{4\pm \sqrt{12}}{2}=2\pm \sqrt{3}$$

Como $a>b$

$$r=\frac{a}{b}=2+\sqrt{3}$$

Problema 125. Canguro matemático 2010625

Un piso se recubre con baldosas cuadradas de dos tamaños diferentes, conforme se ve en la figura. Los lados de esos cuadrados son, respectivamente, a y b, siendo a>b. Si las líneas de puntos trazadas en la figura forman un ángulo de 30º, ¿Cual es la razón entre a y b?

Solución al problema 125

Solución al problema 124

Enunciado del problema 124

$$\begin{array}{ccc}.\begin{array}{ccc}2f\left(6\right)+3f\left(\frac{2010}{6}\right)& =& 30\\ 2f\left(\frac{2010}{6}\right)+3f\left(6\right)& =& 1675\end{array}\}& \Rightarrow & .\begin{array}{ccc}2f\left(6\right)+3f\left(335\right)& =& 30\\ 2f\left(335\right)+3f\left(6\right)& =& 1675\end{array}\}\Rightarrow \\ \Rightarrow .\begin{array}{ccc}4f\left(6\right)+6f\left(335\right)& =& 60\\ 9f\left(6\right)+6f\left(335\right)& =& 5025\end{array}\}& \Rightarrow & 5f\left(6\right)=4965\Rightarrow f\left(6\right)=993\end{array}$$

Problema 124. Canguro matemático 2010629

Sea $f:R_{+}^{*}—\to R$ tal que $2f\left(x\right)+3f\left(\frac{2010}{x}\right)=5x$. Calcula $f\left(6\right)$.

Solución al problema 124

Solución al problema 123

Enunciado del problema 123

Analicemos las posibilidades empezando por negro (N) y no pudiendo tener tres barras negras seguidas, ni tres blancas(B).

Se puede ver e la columna de abajo hasta el orden 7.

Número de orden
$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$N$	$N$	$B$	$B$	$N$	$B$	$B$
$N$	$N$	$B$	$B$	$N$	$B$	$N$
$N$	$N$	$B$	$B$	$N$	$N$	$B$
$N$	$N$	$B$	$N$	$N$	$B$	$B$
$N$	$N$	$B$	$N$	$N$	$B$	$N$
$N$	$N$	$B$	$N$	$B$	$B$	$N$
$N$	$N$	$B$	$N$	$B$	$N$	$B$
$N$	$N$	$B$	$N$	$B$	$N$	$N$
$N$	$B$	$B$	$N$	$N$	$B$	$B$
$N$	$B$	$B$	$N$	$N$	$B$	$N$
$N$	$B$	$B$	$N$	$B$	$B$	$N$
$N$	$B$	$B$	$N$	$B$	$N$	$B$
$N$	$B$	$B$	$N$	$B$	$N$	$N$
$N$	$B$	$N$	$B$	$N$	$B$	$B$
$N$	$B$	$N$	$B$	$N$	$B$	$N$
$N$	$B$	$N$	$B$	$N$	$N$	$B$
$N$	$B$	$N$	$B$	$B$	$N$	$B$
$N$	$B$	$N$	$B$	$B$	$N$	$N$
$N$	$B$	$N$	$N$	$B$	$B$	$N$
$N$	$B$	$N$	$N$	$B$	$N$	$B$
$N$	$B$	$N$	$N$	$B$	$N$	$N$

El número de posibilidades según el número de barras es

Número de barras	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
Posibilidades	$1$	$2$	$3$	$5$	$8$	$13$	$21$

que corresponde a una sucesión de Fibonacci, cuyos primeros términos son $1$ y $2$. Por tanto, el término $11$ tiene $144$ posibilidades, dado que la barra $12$ debe ser negra

Problema 123. Canguro matemático 2010530

El código de barras mostrado se compone de franjas blancas y negras alternadas, siendo negras las de los extremos. Cada una de las franjas, blanca o negra, tiene una anchura de 1 ó 2, y el ancho total de código es 12. ¿Cuántos códigos de barras diferentes, en esas condiciones, leídos de izquierda a derecha, es posible construir?

Solución al problema 123

Solución al problema 122

Enunciado del problema 122

Como tienen las mismas tangentes, los arcos de circunferencia se cortan en un punto que está en la misma recta que une los centros de las circunferencias de los arcos que se tocan, puesto que la tangente es la misma y los radios son perpendiculares a las tangentes, y por tanto los radios están en la misma recta.

Es decir

$$(r-1{)}^2=3^2+(r-2{)}^2\Rightarrow r=6$$

Problema 122. Canguro matemático 2010529

Una figura oval, con ejes de simetría vertical y horizontal, está formada por cuatro arcos de circunferencia. En el dibujo, los arcos a la izquierda y a la derecha son iguales y los arcos superior e inferior también son iguales. En cada uno de los puntos de unión de dos arcos, éstos tienen tangente común, y esos puntos de unión están alineados con los centros de los arcos. Además de eso, el óvalo es tangente a los lados de un rectángulo $4\times 8$. El radio de los arcos menores es 1. ¿Cual es el radio de los arcos mayores?

Solución al problema 122

Solución al problema 120

Enunciado del problema 120

a)

Supongamos que el lado de un polígono regular es $a=AB$. Tenemos que calcular el lado del polígono regular con el doble número de lados $AC$

Como

$$BM=\frac{a}{2}\Rightarrow OM=\sqrt{1-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}$$

$$MC=1-OM=1-\frac{\sqrt{1-a^2}}{2}$$

$$\begin{array}{ccc}B{C}^2& =& B{M}^2+M{C}^2=\frac{a^2}{4}+{\left(1-\sqrt{1-\frac{a^2}{4}}\right)}^2=\end{array}$$

$$\begin{array}{ccc}\frac{a^2}{4}+1-2\sqrt{1-\frac{a^2}{4}}+1-\frac{a^2}{4}& =& 2-\sqrt{4-a^2}\end{array}$$

Por tanto si $a_n$ el el lado del polígono regular de $n$lados, el lado del polígono regular de $2n$ lados vale $a_{2n}=\sqrt{2-\sqrt{4-a_n^2}}$

b)$a_4$ es el cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 1, y por tanto el lado del cuadrado es $\sqrt{2}$

$$a_8=\sqrt{2-\sqrt{4-a_4^2}}=\sqrt{2-\sqrt{4-2}}=\sqrt{2-\sqrt{2}}=0.765366$$

Perímetro$$P_8=8\sqrt{2-\sqrt{2}}$$

Aproximación a pi

$${\pi }_8=\frac{8\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}=4\sqrt{2-\sqrt{2}}=3.06146$$

En general

$${\pi }_{2n}=\frac{2n{a}_{2n}}{2}=n\sqrt{2-\sqrt{4-a_n^2}}$$

$2n$	$a_{2n}$	${\pi }_{2n}$	${\pi }_{2n}-\pi$
$4$	$1,414213562$	$2,828427125$	$-0,313165529$
$8$	$0,765366865$	$3,061467459$	$-0,080125195$
$16$	$0,390180644$	$3,121445152$	$-0,020147501$
$32$	$0,196034281$	$3,136548491$	$-0,005044163$
$64$	$0,098135349$	$3,140331157$	$-0,001261497$
$128$	$0,049082457$	$3,141277251$	$-0,000315403$
$256$	$0,024543077$	$3,141513801$	$-7,88524\cdot 10^{-5}$
$512$	$0,012271769$	$3,14157294$	$-1,97132\cdot 10^{-5}$
$1024$	$0,006135914$	$3,141587725$	$-4,92831\cdot 10^{-6}$
$2048$	$0,00306796$	$3,141591422$	$-1,23209\cdot 10^{-6}$
$4096$	$0,001533981$	$3,141592346$	$-3,07979\cdot 10^{-7}$
$8192$	$0,00076699$	$3,141592577$	$-7,70448\cdot 10^{-8}$