Problema 116. Canguro matemático 2000624

¿Cual es el único entero N, tal que ${\left[\left(2^{2^N}+1\right)\left(2^{2^N}-1\right)+1\right]}^{\frac{1}{2}}=256$?

Solución al problema 116

Solución al problema 115

Enunciado del problema 115

Para los 100 primeros números, p(n) vale:

$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$0$
$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$0$
$2$	$4$	$6$	$8$	$10$	$12$	$14$	$16$	$18$	$0$
$3$	$6$	$9$	$12$	$15$	$18$	$21$	$24$	$27$	$0$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
$9$	$18$	$27$	$36$	$45$	$54$	$63$	$72$	$81$	$0$

Sumando cada fila

$$\begin{array}{ccc}{S}_0& =& \left(\frac{9+1}{2}\right)9=5\cdot 9\\ S_1& =& \left(\frac{9+1}{2}\right)9=5\cdot 9\\ S_2& =& \left(\frac{18+2}{2}\right)9=10\cdot 9\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ S_9& =& \left(\frac{81+9}{2}\right)9=45\cdot 9\end{array}$$

Sumando todas la filas

$$5\cdot 9+5\cdot 9+10\cdot 9+\dots +45\cdot 9=45+5\left(1+2+\dots +9\right)\cdot 9=45+45\left(\frac{1+9}{2}\right)9=$$

$$=45+45\cdot 45=45\cdot 46=2070$$

Problema 115. Canguro matemático 2000628

Sea $p\left(n\right)$ el producto de las cifras de un número natural $n$. ¿Cuánto vale $p\left(1\right)+p\left(2\right)+p\left(3\right)+\dots +p\left(100\right)$?

Solución al problema 115

Solución al problema 114

Enunciado del problema 114

El problema consiste en encontrar el número mínimo de cifras, tal que con las sumas y restras de todas ellas o de algunas de ellas se puedan conseguir todos los números del $1$ al $10$.

Esta claro que con $1$ cifra solo podemos medir una cantidad.

Con dos cifras podemos obtener por sumas, igualdad o restas un máximo de $4$ cantidades.$\left(1,3-1,3,3+1\right)$

Con tres podemos obtener cualquier cantidad de 1 a 10. Por ejemplo

Con pesas de 1,3 y 6	Con pesas de 1,2 y 7
$1=1$	$1=1$
$2=3-1$	$2=2$
$3=3$	$3=2+1$
$4=3+1$	$4=7-1-2$
$5=6-1$	$5=7-2$
$6=6$	$6=7-1$
$7=6+1$	$7=7$
$8=6+3-1$	$8=7+1$
$9=6+3$	$9=7+2$
$10=6+3+1$	$10=7+2+1$

Problema114. Canguro matemático 2000629

En una balanza se determina el peso de un objeto colocándolo en uno de los platillos, y poniemdo pesas en cualquiera de los dos hasta que se consigue el equilibrio. Para poder determinar cualquier peso entero de 1 a 10 gramos. ¿Cual es número mínimo de piezas necesarias?

Solución al problema 114

Solución al problema 113

Enunciado del problema 113

Sean los números $ab$ y $cd$ con $a>b$

Entonces

$$ba\cdot cd+3816=ab\cdot cd$$

Dividiendo por $cd$, $ba+\frac{3816}{cd}=ab$. Esto quiere decir que cd es un divisor de $3816$, de dos cifras

Los divisores de $3816$ de dos cifras son $12,24,18,36,72$ y $53$.

Además si $cd$ es uno de esos números

$$ba+\frac{3816}{cd}=ab\Rightarrow ab-ba=\frac{3816}{cd}$$

Poniendo $ab=10+b$ y $ba=10b+a$

$$10a+b-10b-a=10\left(a-b\right)-\left(a-b\right)=9\left(a-b\right)$$

Luego $\frac{3816}{cd}$ debe ser un núltiplo de 9.

Probando los distintos números, el resultado de $\frac{3816}{cd}$ solo puede ser $18,72$ o $36$.

Pero $\frac{3816}{18}=212$ y $\frac{3816}{36}=106$ que son de tres cifras, luego $\frac{3816}{72}=53=cd$. Es decir que $9\left(a-b\right)=53\Rightarrow a-b=8$. Como suponemos que $ba$ es de dos cifras, $b>0$, luego solo puede ser $b=1$ y $a=9$, porque tanto $a$ como $b$ son de una sola cifra.

En resumen $ab=91$, y el resultado correcto es $ba\cdot cd=19\cdot 53=1007$

Problema 113. Canguro matemático 2000627

En una pregunta de matemáticas. Juan tiene que multiplicar dos enteros de dos cifras. Inadvertidamente invierte el orden de las cifras de uno de los números y así obtiene un resultado que supera al correcto en 3816. ¿ Cual sería el resultado correcto?

Solución al problema 113

Solución al problema 112

Enunciado del problema 112

Sea $c$=altura de la nieve cuando a las $12$ horas, y $a$=altura de la nieve por hora

$h\left(t\right)=c+at$ es la función que nos indica la altura de nieve por hora

Si $0=c+at\Rightarrow t=-\frac{c}{a}$

Luego empieza a nevar a las $12-\frac{c}{a}$

La velocidad a la que va la máquina es inversamente proporcial a la altura de la nieve por tanto vale $v\left(t\right)=\frac{b}{c+at}$

Con los datos que tenemos

$${\int }_0^1\frac{b}{c+at}dt=2\Rightarrow {\left[\frac{b}{a}ln\left(c+at\right)\right]}_0^{{}^1}=2\Rightarrow \frac{b}{a}ln\left(\frac{c+a}{a}\right)=2$$

$${\int }_0^2\frac{b}{c+at}dt=3\Rightarrow {\left[\frac{b}{a}ln\left(c+at\right)\right]}_0^{{}^2}=3\Rightarrow \frac{b}{a}ln\left(\frac{c+2a}{a}\right)=3$$

Dividiendo ambas expresiones

$$\frac{\frac{b}{a}ln\left(\frac{c+a}{c}\right)}{\frac{b}{a}ln\left(\frac{c+2a}{c}\right)}=\frac{2}{3}\Rightarrow 3ln\left(\frac{c+a}{a}\right)=2ln\left(\frac{c+2a}{a}\right)\Rightarrow {\left(\frac{c+a}{a}\right)}^2={\left(\frac{c+2a}{a}\right)}^3$$

Haciendo $\frac{a}{c}=m$

$$\begin{array}{ccc}(1+m{)}^3& =& (1+2m{)}^2\\ 1+3m+3m^2+m^3& =& 1+4m+4m^2\\ m^3-m^2-m& =& 0\\ m\left(m^2-m-1\right)& =& 0\\ m^2-m-1& =& 0\\ m& =& \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\end{array}$$

En nuestro caso solo es posible $m=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$(la razón áurea)

Por tanto $\frac{c}{a}=\frac{1}{m}=0.618$ que pasando a horas minutos y segundos es 37m 5s

Luego comienza a nevar a las 11 horas 22 minutos 55 segundos

Problema 112. Oposiciones

Está nevando con regularidad. Una máquina quitanieves sale a las 12 del mediodía y recorre 2 Km en la 1ª hora y 1 Km en la 2ª hora. ¿A qué hora empezó a nevar?

Nota: se supone que la velocidad de la máquina es inversamente proporcional a la altura de la nieve

Solución al problema 112