Problema 94. CM2014527

En la figura PT es tangente a la circunferencia C de centro O y PS es la bisectriz del ángulo TPR. Calcula la medida del ángulo TSP

Solución del problema 94

Solución al problema 93

Enunciado del problema 93

Si ordenamos los 7! números, irán primero los que empiecen por 1 (6! de ellos), luego los que empiecen por 2, por 3, por 4, por 5 por 6 y por 7. Escritos en orden, los centrales empezan por 4. Dentro de éstos, estarán colocados los que empiezan por 1,2,3,5,6 y 7. Si buscamos el último de la primera mitad, deberá empezar por 3, y ser el último por tanto, de los que empiezan por 43. El orden a partir de aquí lo darán las cifras mayores de mayor a menor. El último de la primera mitad será el 4376521.

Problema 93. CM2014528

Se considera el conjunto de todos los números de 7 cifras distintas que se pueden escribir con las cifras 1,2,3,4,5,6 y 7. Se colocan dichos números en orden creciente. ¿Cuál es el último número de la primera mitad de la lista?

Solución al problema 93

Solución al problema 92

Enunciado del problema 92

Como $6^2+8^2=10^2$, el triángulo ABC es rectángulo. Sea h la altura del lado BC, H el pie de la altura, y $m$ la longitud de la mediana, siendo $a$ la distancia entre H y M.

Como ABC es rectángulo, su área es $\frac{6\cdot 8}{2}=24$

Además

$$área\left[ABC\right]=\frac{BC\cdot h}{2}=\frac{10\cdot h}{2}=24\Rightarrow h=\frac{48}{10}=4.8$$

Como ABC es rectángulo, por el teorema de la altura

$$\begin{array}{ccc}{h}^2& =& BH\cdot HC\\ 4.8^2& =& \left(5-a\right)\left(5+a\right)\\ 4.8^2& =& 24-a^2\\ a^2& =& 25-4.8^2\end{array}$$

Además

$$\begin{array}{ccc}{m}^2& =& h^2+a^2\\ m^2& =& 4.8^2+\left(25-4.8^2\right)\\ m^2& =& 25\\ m& =& 5\end{array}$$

Por otra parte como el triángulo ABC es rectángulo, y AMF también. Como m=MC=5, el triángulo AMC es isósceles, y por tanto los ángulos FAM y MCA son iguales. Al tener dos ángulos iguales, los triángulos ABC y AMF son semejantes. En consecuencia

$$\begin{array}{ccc}MF& =& \frac{30}{8}=\frac{15}{4}\\ MD-MF& =& 5-\frac{15}{4}=\frac{5}{4}\\ Area\left[AFDE\right]& =& \frac{5+\frac{5}{4}}{2}\cdot 5=\frac{125}{8}\end{array}$$

Problema 92. CM2014529

Sea ABC un triángulo tal que AB=6, AC=8 y BC=10, y M el punto medio de BC. AMDE es un cuadrado y MD corta a AC en el punto F. Halla el área de AFDE

Solución al problema 92

Solución al problema 91

Enunciado del problema 91

En el esquema DB y CA son paralelos y DA y CB se cortan en P, por tanto los triángulos DBP y PAC son semejantes, es decir:

$$\frac{DP}{PA}=\frac{DB}{CA}=\frac{3}{6}\Rightarrow \frac{DP}{PA}=\frac{1}{2}$$

Los triángulos DAB y POA también son semejantes porque tienen el ángulo A, que es comúny además

$$\frac{DA}{BA}=\frac{DP+PA}{9}=\frac{\frac{PA}{2}+PA}{9}=\frac{PA}{6}=\frac{PA}{OA}$$

Por tanto

$$\frac{PO}{DB}=\frac{OA}{BA}\Rightarrow PO=\frac{OA\cdot DB}{BA}=\frac{6\cdot 3}{9}=2$$

Es decir que P está a una distancia 2 del origen.

El lugar geométrico es una circunferencia de centro el origen y radio 2

Problema 91. Olimpiadas matemáticas

En un sistema cartesiano rectangular se dan dos puntos $A\left(6,0\right)$ y $B\left(-3,0\right)$. Por A se traza una recta variable y sobre ella se toma un punto C a distancia 6 de A. Por B se traza una recta paralela a la anterior y sobre ella se toma D, distante 3 unidades de B y en el mismo sentido. Halla el lugar geométrico del punto P de intersección de AD con BC

Solución del problema 91

Solución al problema 90

Enunciado del problema 90

$P\left(x\right)$será divisible por $x-1$ si $P\left(1\right)=0$.

Sea el polinomio $P\left(x\right)=a_{100}{x}^{100}+a_{99}{x}^{99}+\dots +a_{1}x+a_0$

$$p\left(1\right)=a_{100}+a_{99}+\dots +a_1+a_0$$

Como $\left|a_i\right|\le 50$ y deben ser todos distintos, puesto que hay $101$ valores enteros menores o iguales que $50$ en valor absoluto $\left(-50,-49,-48,\dots ,-1,0,1,\dots ,49,50\right)$, al sumarlos todos ellos, el resultado será, en algún orden, $-50-49-48-\dots -1+0+1+\dots +48+49+50=0$. Por tanto $P\left(1\right)=0$, y $P\left(x\right)$ será divisible por $x-1$

Problema 90. Olimpiadas matemáticas

Se considera un polinomio de grado 100, con coeficientes enteros, todos ellos distintos entre sí, cuyos valores absolutos son menores o iguales que 50. Determina si P(x) es divisible por x-1

Solución al problema 90