Solución al problema 81

Enunciado del problema 81

Multiplicando término a término:

$1$

$+x$

$+x^2$

$+\dots$

$+x^{99}$

$+x^{100}$

$-x$

$-x^2$

$-\dots$

$-x^{99}$

$-x^{100}$

$-x^{101}$

$x^2$

$+\dots$

$+x^{99}$

$+x^{100}$

$+x^{101}$

$+x^{102}$

$-\dots$

$-x^{99}$

$-x^{100}$

$-x^{101}$

$-x^{102}$

$-x^{103}$

$⋮$

$⋮$

$⋮$

$⋮$

$⋮$

$-x^{99}$

$-x^{100}$

$-x^{101}$

$-x^{102}$

$-x^{103}$

$-\dots -$

$-x^{198}$

$-x^{199}$

$x^{100}$

$+x^{101}$

$+x^{102}$

$+x^{103}$

$+\dots +$

$+x^{198}$

$+x^{199}$

$+x^{200}$

Sumando cada término

$1$

$+x^2$

$+\dots +$

$+x^{100}$

$+x^{102}$

$+\dots +$

$x^{198}$

$x^{200}$

Problema 81. Olimpiadas matemáticas

Demostrar que en el desarrollo de la siguiente expresión no existen términos de grado impar

$$\left(1-x+x^2-x^3+\dots -x^{99}+x^{100}\right)\left(1+x+x^2+x^3+\dots +x^{99}+x^{100}\right)$$

Solución del problema 81

Solución 2 al problema 80

Enunciado del problema 80
Solución 1 del problema 80

Vamos a utilizar el teorema de Descartes de los círculos tangentes, siendo $k_i$ la curvatura $\left(k_i=\frac{1}{r_i}\right)$

$$(k_1+k_2+k_3+k_4{)}^2=2(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2)$$

Despejamdo $k_4$ para $k_1,k_2$, y $k_3$ conocidos

$$k_4=k_1+k_2+k_3\pm \sqrt{k_1{k}_2+k_1{k}_3+k_2{k}_3}$$

Esta es la fórmula que vamos a aplicar por inducción

Como queremos demostrar que $D_n=\frac{r}{n\left(n+1\right)}$y por tanto que $r_n=\frac{r}{2n\left(n+1\right)}$, y en términos de curvatura $k_n=2n\left(n+1\right)$(Sin pérdida de generalidad podemos demostrarlo sin r)

En nuestro caso las circunferencias que son tangentes a una circunferencia de radio $r_n$ son las de radios $r_{n-1},r$ y $r$.

Debemos demostrar por inducción que las curvaturas van siendo $k_n=2n\left(n+1\right)$

Para n=1

$$k_1=2\cdot 2=4\Rightarrow r_1=\frac{r}{4}$$

Supongamos $k_{n-1}=2n\left(n-1\right)$

Las curvaturas de las tres circunferencias son n(n-1),1,1

Aplicando la fórmula

$$1+1+2n\left(n-1\right)\pm \sqrt{2n\left(n-1\right)+2n\left(n-1\right)+1}=$$

$$=2+2n^2-2n\pm 2\sqrt{(2n-1{)}^2}=2+2n^2-2n\pm \left[4n-2\right]=$$

$$=\{\begin{array}{c}2+2n^2-2n+4n-2=2n^2+4n=2\left(n^2+2n\right)=2n\left(n+1\right)\\ 2+2n^2-2n-4n+2=2n^2-6n+4=2\left(n^2-3n+2\right)=2\left(n-1\right)\left(n-2\right)\end{array}.$$

La primera solución es la que da la fórmula que queremos demostrar por inducción, y por tanto queda demostrada

La segunda solución es la de un circunferencia que está “encima” de la que tiene curvatura $2n\left(n-1\right)$

Solución 1 al problema 80

Enunciado del problema 80
Solución 2 del problema 80

Demostremos por inducción que $D_n=\frac{r}{n\left(n+1\right)}$

Sea $d_n=\frac{D_n}{2}$

Caso n=1

En el triángulo formados por el centro del primer círculo, el punto situado en la mitad del lado mayor y uno de los vértices más cercanos a éste:

$$\begin{array}{ccc}(r+d_1{)}^2& =& (r-d_1{)}^2+r^2\\ r^2+2r{d}_1+d_1^2& =& r^2-2r{d}_1+d_1^2+r^2\\ 4r{d}_1& =& r^2\\ d_1& =& \frac{r}{4}\\ D_1& =& \frac{r}{2}\end{array}$$

Caso n

Supongamos que $D_{n-1}=\frac{r}{n\left(n+1\right)}$. Entonces se puede formar el triánglo de la figura formados por el centro del n-ésimo círculo, el punto situado en la mitad del lado mayor y uno de los vértices más cercanos a éste:

Sumando los diámetros

$$\begin{array}{ccc}{D}_1+D_2+\dots +D_{n-1}& =& \frac{r}{1\cdot 2}+\frac{r}{2\cdot 3}+\dots +\frac{r}{\left(n-1\right)\cdot n}=\end{array}$$

$$=r\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=r\left(1-\frac{1}{n}\right)=r\frac{n-1}{n}$$

Además

$$r-D_1-D_2-\dots -D_{n-1}-\frac{D_n}{2}=r-r\frac{n-1}{n}-\frac{D_n}{2}=\frac{r}{n}-\frac{D_n}{2}$$

Volviendo al triágulo rectángulo

$$\begin{array}{ccc}{\left(r+\frac{D_n}{2}\right)}^2& =& r^2+{\left(\frac{r}{n}-\frac{D_n}{2}\right)}^2\\ r^2+r{D}_n+D_n^2& =& r^2+\frac{r^2}{n^2}-\frac{r{D}_n}{n}+\frac{D_n^2}{4}\\ r{D}_n\left(1+\frac{1}{n}\right)& =& \frac{r^2}{n^2}\\ D_n\left(\frac{n+1}{n}\right)& =& \frac{r}{n^2}\\ D_n& =& \frac{rn}{n^2\left(n+1\right)}=\frac{r}{n\left(n+1\right)}\end{array}$$

que coincide con la fórmula general, y por tanto queda demostrado por inducción

Como vimos mas arriba, si $r=1$

$$D_1+D_2+\dots +D_n=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots +\frac{1}{n\left(n+1\right)}$$

Cuando $n$ tiende a infinito, la suma de todos los diámetros es la longitud del lado, y por tanto vale 1, es decir:

$$\underset{n\to \infty }{lim}\left(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots +\frac{1}{n\cdot \left(n+1\right)}\right)=\underset{n\to \infty }{lim}\left(D_1+D_2+\dots +D_n\right)=1$$

Problema 80. Olimpiadas matemáticas

En el rectángulo de la figura, cuya base es doble que la altura, se construyen los dos cuadrantes de circunferencia mostrados y las circunferencias tangentes a ambos cuadrantes y a la anterior (excepto la primera que es tangente al lado superior del rectángulo). Si numeramos las circunferencias en orden de tamaño decreciente, se pide encontrar la expresión para el diámetro $D_n$ de la n-ésima circunferencia. Como aplicación demostrar que

$$\underset{n\to \infty }{lim}\left(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots +\frac{1}{n\cdot \left(n+1\right)}\right)=1$$

Solución 1 del problema 80
Solución 2 del problema 80

Solución al problema 79

Enunciado del problema 79

Sean $n-1,n$ y $n+1$

$$(n-1{)}^3+n^3+(n+1{)}^3=3n^3+6n=3n\left(n^2+2\right)$$

Si $n=3k$

$$3\cdot 3k\left(\right(3k{)}^2+2)=9k(9k^2+2)$$

Si $n=3k+1$

$$3\left(3k+1\right)\left(\right(3k+1{)}^2+2)=3(3k+1\left)\right(9k^2+6k+3)=9(3k+1\left)\right(3k^2+2k+1)$$

Si $n=3k+2$

$$3\left(3k+2\right)\left(\right(3k+2{)}^2+2)=3(3k+2\left)\right(9k^2+12k+6)=9(3k+2\left)\right(9k^2+4k+2)$$

En todos los casos la expresión resultante es múltiplo de 9

Problema 79. Olimpiadas matemáticas

Demuestra que la suma de los cubos de tres números naturales consecutivos es múltiplo de 9

Solución del problema 79

Solución al problema 78

Enunciado del problema 78

Sean las raíces $\frac{m}{k},m,km$

Como

$$\frac{m}{k}\cdot m\cdot km=0.125\Rightarrow m^3=0.125\Rightarrow m=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$$

Las raíces son entonces $\frac{1}{2k},\frac{1}{2},\frac{k}{2}$

Además

$$\frac{1}{2k}+\frac{1}{2}+\frac{k}{2}=-a\Rightarrow \frac{1+k+k^2}{2k}=-a\Rightarrow 1+k+k^2=-2ak$$

$$\frac{1}{2k}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2k}\cdot \frac{k}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{k}{2}=b\Rightarrow 1+k+k^2=4bk$$

Igualando

$$-2ak=4bk\Rightarrow 2b=-a$$

Para hallar k en función de los coeficientes

$$1+k+k^2=-2ak\Rightarrow k^2+k\left(2a+1\right)+1=0\Rightarrow k=\frac{-2a-1\pm \sqrt{(2a+1{)}^2-4}}{2}$$

La raíces serán las soluciones de

$$x^2+\left(-2b+0.5\right)x+0.25=0=\Rightarrow x=\frac{2b-0.5\pm \sqrt{(-2b+0.5{)}^2-1}}{2}$$

Problema 78. Olimpiadas matemáticas

Determina a y b para que la ecuación $x^3+a{x}^2+bx-0.125=0$tenga sus raíces en progresión geométrica y halla sus términos

Solución al problema 78