Problema 80. Olimpiadas matemáticas

En el rectángulo de la figura, cuya base es doble que la altura, se construyen los dos cuadrantes de circunferencia mostrados y las circunferencias tangentes a ambos cuadrantes y a la anterior (excepto la primera que es tangente al lado superior del rectángulo). Si numeramos las circunferencias en orden de tamaño decreciente, se pide encontrar la expresión para el diámetro $D_n$ de la n-ésima circunferencia. Como aplicación demostrar que

$$\underset{n\to \infty }{lim}\left(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots +\frac{1}{n\cdot \left(n+1\right)}\right)=1$$

Solución 1 del problema 80
Solución 2 del problema 80