Solución 1 al problema 73

Enunciado del problema 73

Como $r=OC=OE$ y OA es común, por el teorema de pitágoras $CA=\sqrt{O{A}^2-O{C}^2}=\sqrt{O{A}^2-O{E}^2}=AE$

Igualmente $EB=DB$. Si $\alpha =AOE=AOC$, y $\beta =EOB=BOD$ , como la suma de los cuatro ángulos es 180º

$180º=AOE+AOC+EOB+BOD=\alpha +\alpha +\beta +\beta$, y por tanto $90º=\alpha +\beta$, que es precisamente el ángulo AOB.

Problema 73. Olimpiadas matemáticas

Dos tangentes a una circunferencia paralelas entre sí, son cortadas por otra tangente en los puntos A y B. Demuestra que las rectas que unen A y B con el centro de la circunferencia son perpendiculares

Primera solución del problema 73
Segunda solución del problema 73

Solución del problema 72

Enunciado del problema 72

Sean x e y los números entre 0 y 1. Las condiciones son

$\begin{array}{c}x<y^2\left(1\right)\\ y<x^2\left(2\right)\end{array}$

Representando gráficamente la parte (1) y (2) sobre un cuadrado de lado unidad, los casos favorables son aquellos que están en la zona de la trama

Como las dos partes de la trama son iguales:

$${\int }_0^1{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{1}{3}$$

y por tanto la probabilidad pedida es

$$p=2\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$

Problema 72. Olimpiadas matemáticas

Se eligen aleatoriamente dos números entre o y 1. Calculad la probabilidad de que uno cualquiera de ellos sea menor que el cuadrado del otro.

Solución del problema 72

Solución al problema 71

Enunciado del problema 71

Demostremos por inducción que $A^n={\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)}^n=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ n& 1& 0\\ \frac{n^2+n}{2}& n& 1\end{array}\right)$

Caso n=1

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$$

Caso n=2

$$A^2={\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$$

Supongamos $A^n=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$

$$A^n\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ n& 1& 0\\ \frac{n^2+n}{2}& n& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ n+1& 1& 0\\ \frac{n^2+n}{2}+n+1& n+1& 1\end{array}\right)=$$

$$=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ n+1& 1& 0\\ \frac{n^2+3n+2}{2}& n+1& 1\end{array}\right)=A^{n+1}$$

Problema 71. Olimpiadas matemáticas

Halla la potencia n-ésima de la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$

Solución al problema 71

Solución al problema 70

Enunciado del problema 70

Elevando al cubo

$$N^3=45+29\sqrt{2}+3\sqrt[3]{(45+29\sqrt{2}{)}^2(45-29\sqrt{2})}+\sqrt[3]{\left(45+29\sqrt{2}\right)(45-29\sqrt{2}{)}^2}+$$

$$+45-29\sqrt{2}=90+3\sqrt[3]{\left(45+29\sqrt{2}\right)\left(45+29\sqrt{2}\right)\left(45-29\sqrt{2}\right)}+$$

$$+3\sqrt[3]{\left(45+29\sqrt{2}\right)\left(45-29\sqrt{2}\right)\left(45-29\sqrt{2}\right)}=$$

$$=90+3\sqrt[3]{\left(45+29\sqrt{2}\right)343}+3\sqrt[3]{\left(45-29\sqrt{2}\right)343}=$$

$$=90+21\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}+21\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}=$$

$$=90+21\left(\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}+\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}\right)=90+21N$$

Por tanto $N$ es la solución de la ecuación $N^3-21N-90=0$. Esta exuación tiene como soluciones N=6, y otras dos raíces complejas no reales. Por tanto $N=6$

Problema 70. Olimpiadas matemáticas

Demuestra que $N=\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}+\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}$ es entero

Solución al problema 70

Solución problema 69

Enunciado del problema 69

Calculemos cuanto vale $a^4$. Tomemos solo la terminación de a, según las cifras 0,...,9.

Anotamos la última cifra de cada potencia

$a$	$a^2$	$a^3$	$a^4$
1	1	1	1
2	4	8	6
3	9	7	1
4	6	4	6
5	5	5	5
6	6	6	6
7	9	3	1
8	4	2	6
9	1	9	1
0	0	0	0

La potencia $a^4$,es de tipo $5k$ (terminará en 0) o $5k+1$(terminará en 1)

En base 5, un número termina en 4 ceros cuando es del tipo $m0000=0+0\cdot 5+0\cdot 5^2+0\cdot 5^3+m\cdot 5^4=625k$, es decir los múltiplos de 625

a) Supongamos que termina en 0

Si $a=10k\Rightarrow a^4=10000k^4$. Termina en 4 ceros, y por tanto es múltiplo de 625

Si $a=10k+5$

$$a^4=(10k+5{)}^4=10000k^4+4(10k{)}^3\cdot 5+6(10k{)}^2\cdot 5^2+6\cdot 10k\cdot 5^3+5^4=$$

$$=10000k^4+20000k^3+15000k^2+7500k+625$$

Esta última expresión es múltiplo de 625

Por tanto en ambos casos, en base 5 se escribe con 4 ceros.

Es decir que cualquier número natural elevado a la cuarta, en base cinco temina en 1, o en cuatro ceros.