Solución al problema 111

Enunciado del problema 111

Sea $S_n=\frac{\left(a_1+a_n\right)n}{2}$

Como $S_n=n^2\Rightarrow \left(a_1+a_n\right)n=2n^2\Rightarrow a_1+a_n=2n\Rightarrow a_n=-a_1+2n$

Como en general $a_n=a_1+\left(n-1\right)d$, igualando

$$-a_1+2n=a_1+nd-d$$

Como $n$ es genérico

$$\{\begin{array}{c}-a_1=a_1-d\\ 2n=nd\end{array}.\Rightarrow \{\begin{array}{c}d=2\\ a_1=1\end{array}.$$

La sucesión es $a_n=1+\left(n-1\right)2=1+2n-2=2n-1$

es decir la sucesión

$$135791113\dots$$