Solución al problema 111

Enunciado del problema 111

Sea $S_n=\frac{\left(a_1+a_n\right)n}{2}$

Como $S_n=n^2\Rightarrow \left(a_1+a_n\right)n=2n^2\Rightarrow a_1+a_n=2n\Rightarrow a_n=-a_1+2n$

Como en general $a_n=a_1+\left(n-1\right)d$, igualando

$$-a_1+2n=a_1+nd-d$$

Como $n$ es genérico

$$\{\begin{array}{c}-a_1=a_1-d\\ 2n=nd\end{array}.\Rightarrow \{\begin{array}{c}d=2\\ a_1=1\end{array}.$$

La sucesión es $a_n=1+\left(n-1\right)2=1+2n-2=2n-1$

es decir la sucesión

$$135791113\dots$$

Problema 111. Olimpiadas matemáticas

Halla una progresión aritmética tal que la suma de sus n primeros términos valga $n^2$, para todo $n$

Solución al problema 111

Solución al problema 110

Enunciado del problema 110

La suma de todas las cifras es $\left(4+2+1\right)\cdot 1000=7000$. Hay que quitar número por valor de $7000-2014=4986$. Si quitamos lo que mas aprota a la suma que son los cuatros queda $4986-4\cdot 1000=986$, y habremos quitado $1000$ cuatros. Si quitamos ahora $493$ doses, la suma será $2014$, por tanto habremos quitado $1000+493=1493$ cifras

Problema 110. CM2014427

Se escribe el número 2014 mil veces seguidas $\underset{1000veces}{\underbrace{20142014\dots 2014}}$. ¿Cual es el menor número de cifras que hay que borrar para que las que queden sumen 2014?

Solución al problema 110

Solución al problema 109

Enunciado del problema 109

Para que se pueda formar un triángulo de lados a,b y c , la suma de dos de los lados tiene que ser mayor que el tercero. Además los lados han de ser distintos para ser escaleno. Tomemos parejas ordenadas de menor a mayor. El tercer lado será un número mayor que el mayor de la pareja, y menor que su suma, por tanto

2	3	4
2	4	5
2	5	6
2	6	7
3	4	5
3	4	6
3	5	6
3	5	7
4	5	6
4	5	7
4	6	7
5	6	7

Total 12

Problema 109. CM2014428

¿Cuántos triángulos escalenos distintos se pueden formar con segmentos de longitudes 2cm, 3cm, 4cm, 5cm, 6cm y 7cm?

Solución al problema 109

Solución al problema 108

Enunciado del problema 108

Como las tres son potencias de 2, y como $100=5^2\cdot 2^2$, entonces la suma de todas las edades vale $2^2\cdot 25$, es decir $2^a+2^m+2^n=2^2\cdot 25$

Por tanto 25 debe ser una suma de potencias de 2, que deben ser 16,8,4,2,1. Como 8+4+2+1<25, al menos 16 debe formar parte de la suma, luego $25=2^4+2^m+2^n$. La única combinación posible es $25=2^4+2^3+2^0$. Las edades serán entonces $2^2\left(2^4+2^3+2^0\right)=2^6+2^5+2^2$. La edad de la nieta será de 4 años. Nació en 2010.