Solución del problema 63

Enunciado del problema 63

Tomemos solamente dos circunferecnias de radios $r_1$ y$r_2$. Sea d la distancia que separa a los puntos de tangencia de dichas circunferencias con la recta tangente común

En ellas tenemos

$$\begin{array}{ccc}{d}^2+(r_1-r_2{)}^2& =& (r_1+r_2{)}^2\\ d^2+r_1^2-2r_1{r}_2+r_2^2& =& r_1^2+2r_1{r}_2+r_2^2\\ d^2& =& 4r_1{r}_2\\ d& =& 2\sqrt{r_1{r}_2}\end{array}$$

Aplicando este resultado a las tres circunferencias $C_1\left(A_1,r_1\right),C_2\left(A_2,r_2\right),C_3\left(A_3,r_3\right)$tangentes entre sí y a una recta común, y llamando los radios $r_{1,}{r}_2{r}_3$ y $d,d_1,d_2$ a la separación entre los puntos de tangencia entre las circunferencias $C_1$ $C_2$, $C_1$ $C_3$ y $C_2$ $C_3$ respectivamene:

$$\begin{array}{ccc}d& =& 2\sqrt{r_1{r}_2}\\ d_1& =& 2\sqrt{r_1{r}_3}\\ d_2& =& 2\sqrt{r_2{r}_3}\\ d& =& d_1+d_2\\ \sqrt{r_1{r}_2}& =& \sqrt{r_1{r}_3}+\sqrt{r_2{r}_3}\end{array}$$

Dividiendo por $\sqrt{r_1{r}_2{r}_3}$

$$\frac{1}{\sqrt{r_3}}=\frac{1}{\sqrt{r_1}}+\frac{1}{\sqrt{r_2}}$$