Solución del problema 62. Sangaku

Enunciado del problema 62

Llamaemos ABCD a los vértices del cuadrado, de lado a

Consideremos la circunferencia tangente a DC

Sea E el punto medio de dicho lado, M el centro de la circunferencia y N y P los puntos en que una paralela a DA que pasa por M y corta a los lados DC y AB.

Sea x la distancia entre N y E, y r el radio de la circunferencia. Podemos establecer la relación entre los lados de los dos triángulos rectángulos MPR y MNE

Triángulo MPR$$\begin{array}{ccc}{\left(x+\frac{a}{2}\right)}^2=(a+r{)}^2-(a-r{)}^2& =& \left(a+r+a-r\right)\left(a+r-a+r\right)=4ar\\ x+\frac{a}{2}=\sqrt{4ar}& =& x=2\sqrt{ar}-\frac{a}{2}\\ x^2=4ar+\frac{a^2}{4}-2\frac{a}{2}2\sqrt{ar}& \Rightarrow & x^2=4ar+\frac{a^2}{4}-2a\sqrt{ar}\left(1\right)\end{array}$$

Triángulo MNE

$$x^2={\left(\frac{a}{2}-r\right)}^2-r^2=\frac{a^2}{4}-ar\left(2\right)$$

Igualando las expresiones (1) y (2)

$$\begin{array}{ccc}\frac{a^2}{4}-ar& =& 4ar+\frac{a^2}{4}-2a\sqrt{ar}\\ 2a\sqrt{ar}& =& 5ar\\ 2\sqrt{ar}& =& 5r\\ 4ar& =& 25r^2\\ 4a& =& 25r\\ r& =& \frac{4a}{25}\end{array}$$

Consideremos la circunferencia tangente a DA

Sea E el punto medio del lado DC, R el centro de la circunferencia y Q y S los puntos en que una paralela a DA que pasa por M y corta a los lados DC y AB.

Sea y la distancia entre R y Q, y r el radio de la circunferencia. Podemos establecer la relación entre los lados de los dos triángulos rectángulos SRB y QRE

Triángulo RQB

$$\begin{array}{ccc}{y}^2& =& {\left(\frac{a}{2}+r\right)}^2-{\left(\frac{a}{2}-r\right)}^2=2ar\left(3\right)\end{array}$$

Triángulo SRB

$$\begin{array}{ccc}(a-y{)}^2& =& (a+r{)}^2-(a-r{)}^2=4ar\\ a-y& =& 2\sqrt{ar}\\ y& =& a-2\sqrt{ar}\\ y^2& =& a^2-4\sqrt{ar}+4ar\left(4\right)\end{array}$$

Igulando (3) y (4)

$$\begin{array}{ccc}{a}^2-4\sqrt{ar}+4ar& =& 2ar\\ 2ar+a^2& =& 4a\sqrt{ar}\\ 2r+a& =& 4\sqrt{ar}\\ 4r^2+4ar+a^2& =& 16ar\end{array}$$

$$4r^2-12ar+a^2=0\Rightarrow r=a\frac{12\pm \sqrt{144-16}}{8}=a\frac{3\pm 2\sqrt{2}}{2}$$

En nuestro caso la solución correcta es $r=a\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$

Consideremos la circunferencia tangente a AB

Sea E el punto medio del lado DC, U el centro de la circunferencia y T y V los puntos en que una paralela a DA que pasa por U y corta a los lados DC y AB.

Sea z la distancia entre T y E, y r el radio de la circunferencia. Podemos establecer la relación entre los lados de los dos triángulos rectángulos VUB y TUE

Triángulo VUB

$$x^2={\left(\frac{a}{2}+r\right)}^2-(a-r{)}^2=-\frac{3a^2}{4}+3ar(5)$$

Triángulo TUE

$$r^2+{\left(\frac{a}{2}+x\right)}^2=(a-r{)}^2$$

$$r^2+\frac{a^2}{4}+2\frac{a}{2}x+x^2=a^2-2ar+r^2$$

$$\frac{a^2}{4}+2\frac{a}{2}x+x^2=a^2-2ar\left(6\right)$$

Sustituyendo (5) en (6)

$$\frac{a^2}{4}+ax-\frac{3a^2}{4}+3ar=a^2-2ar$$

$$ax=a^2-\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}-2ar-3ar=\frac{4a^2-a^2+3a^2}{4}-5ar$$

$$ax=\frac{6a^2}{4}-5ar\Rightarrow x=\frac{3a}{2}-5r\Rightarrow x^2=\frac{9a^2}{4}-2\frac{3a}{2}5r+25r^2$$

Igualando de nuevo con (5)

$$\begin{array}{ccc}\frac{9a^2}{4}-2\frac{3a}{2}5r+25r^2& =& -\frac{3a^2}{4}+3ar\end{array}$$

$$\frac{9a^2}{4}-15ar+25r^2-\frac{3a^2}{4}+3ar=0$$

$$25r^2-18ar+3a^2=0$$

$$r=a\frac{18\pm \sqrt{324-300}}{50}=a\frac{18\pm \sqrt{24}}{50}=a\frac{9\pm \sqrt{6}}{25}$$

En nuestro caso $r=a\frac{9-\sqrt{6}}{25}$