Solución del problema 63

Enunciado del problema 63

Tomemos solamente dos circunferecnias de radios $r_1$ y$r_2$. Sea d la distancia que separa a los puntos de tangencia de dichas circunferencias con la recta tangente común

En ellas tenemos

$$\begin{array}{ccc}{d}^2+(r_1-r_2{)}^2& =& (r_1+r_2{)}^2\\ d^2+r_1^2-2r_1{r}_2+r_2^2& =& r_1^2+2r_1{r}_2+r_2^2\\ d^2& =& 4r_1{r}_2\\ d& =& 2\sqrt{r_1{r}_2}\end{array}$$

Aplicando este resultado a las tres circunferencias $C_1\left(A_1,r_1\right),C_2\left(A_2,r_2\right),C_3\left(A_3,r_3\right)$tangentes entre sí y a una recta común, y llamando los radios $r_{1,}{r}_2{r}_3$ y $d,d_1,d_2$ a la separación entre los puntos de tangencia entre las circunferencias $C_1$ $C_2$, $C_1$ $C_3$ y $C_2$ $C_3$ respectivamene:

$$\begin{array}{ccc}d& =& 2\sqrt{r_1{r}_2}\\ d_1& =& 2\sqrt{r_1{r}_3}\\ d_2& =& 2\sqrt{r_2{r}_3}\\ d& =& d_1+d_2\\ \sqrt{r_1{r}_2}& =& \sqrt{r_1{r}_3}+\sqrt{r_2{r}_3}\end{array}$$

Dividiendo por $\sqrt{r_1{r}_2{r}_3}$

$$\frac{1}{\sqrt{r_3}}=\frac{1}{\sqrt{r_1}}+\frac{1}{\sqrt{r_2}}$$

Problema 63

Tres círcinferencias son tangentes entre sí y tangentes a una misma recta. Halla una relación entre los radios de las circunferencias

Solución del problema 63

Solución del problema 62. Sangaku

Enunciado del problema 62

Llamaemos ABCD a los vértices del cuadrado, de lado a

Consideremos la circunferencia tangente a DC

Sea E el punto medio de dicho lado, M el centro de la circunferencia y N y P los puntos en que una paralela a DA que pasa por M y corta a los lados DC y AB.

Sea x la distancia entre N y E, y r el radio de la circunferencia. Podemos establecer la relación entre los lados de los dos triángulos rectángulos MPR y MNE

Triángulo MPR$$\begin{array}{ccc}{\left(x+\frac{a}{2}\right)}^2=(a+r{)}^2-(a-r{)}^2& =& \left(a+r+a-r\right)\left(a+r-a+r\right)=4ar\\ x+\frac{a}{2}=\sqrt{4ar}& =& x=2\sqrt{ar}-\frac{a}{2}\\ x^2=4ar+\frac{a^2}{4}-2\frac{a}{2}2\sqrt{ar}& \Rightarrow & x^2=4ar+\frac{a^2}{4}-2a\sqrt{ar}\left(1\right)\end{array}$$

Triángulo MNE

$$x^2={\left(\frac{a}{2}-r\right)}^2-r^2=\frac{a^2}{4}-ar\left(2\right)$$

Igualando las expresiones (1) y (2)

$$\begin{array}{ccc}\frac{a^2}{4}-ar& =& 4ar+\frac{a^2}{4}-2a\sqrt{ar}\\ 2a\sqrt{ar}& =& 5ar\\ 2\sqrt{ar}& =& 5r\\ 4ar& =& 25r^2\\ 4a& =& 25r\\ r& =& \frac{4a}{25}\end{array}$$

Consideremos la circunferencia tangente a DA

Sea E el punto medio del lado DC, R el centro de la circunferencia y Q y S los puntos en que una paralela a DA que pasa por M y corta a los lados DC y AB.

Sea y la distancia entre R y Q, y r el radio de la circunferencia. Podemos establecer la relación entre los lados de los dos triángulos rectángulos SRB y QRE

Triángulo RQB

$$\begin{array}{ccc}{y}^2& =& {\left(\frac{a}{2}+r\right)}^2-{\left(\frac{a}{2}-r\right)}^2=2ar\left(3\right)\end{array}$$

Triángulo SRB

$$\begin{array}{ccc}(a-y{)}^2& =& (a+r{)}^2-(a-r{)}^2=4ar\\ a-y& =& 2\sqrt{ar}\\ y& =& a-2\sqrt{ar}\\ y^2& =& a^2-4\sqrt{ar}+4ar\left(4\right)\end{array}$$

Igulando (3) y (4)

$$\begin{array}{ccc}{a}^2-4\sqrt{ar}+4ar& =& 2ar\\ 2ar+a^2& =& 4a\sqrt{ar}\\ 2r+a& =& 4\sqrt{ar}\\ 4r^2+4ar+a^2& =& 16ar\end{array}$$

$$4r^2-12ar+a^2=0\Rightarrow r=a\frac{12\pm \sqrt{144-16}}{8}=a\frac{3\pm 2\sqrt{2}}{2}$$

En nuestro caso la solución correcta es $r=a\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$

Consideremos la circunferencia tangente a AB

Sea E el punto medio del lado DC, U el centro de la circunferencia y T y V los puntos en que una paralela a DA que pasa por U y corta a los lados DC y AB.

Sea z la distancia entre T y E, y r el radio de la circunferencia. Podemos establecer la relación entre los lados de los dos triángulos rectángulos VUB y TUE

Triángulo VUB

$$x^2={\left(\frac{a}{2}+r\right)}^2-(a-r{)}^2=-\frac{3a^2}{4}+3ar(5)$$

Triángulo TUE

$$r^2+{\left(\frac{a}{2}+x\right)}^2=(a-r{)}^2$$

$$r^2+\frac{a^2}{4}+2\frac{a}{2}x+x^2=a^2-2ar+r^2$$

$$\frac{a^2}{4}+2\frac{a}{2}x+x^2=a^2-2ar\left(6\right)$$

Sustituyendo (5) en (6)

$$\frac{a^2}{4}+ax-\frac{3a^2}{4}+3ar=a^2-2ar$$

$$ax=a^2-\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}-2ar-3ar=\frac{4a^2-a^2+3a^2}{4}-5ar$$

$$ax=\frac{6a^2}{4}-5ar\Rightarrow x=\frac{3a}{2}-5r\Rightarrow x^2=\frac{9a^2}{4}-2\frac{3a}{2}5r+25r^2$$

Igualando de nuevo con (5)

$$\begin{array}{ccc}\frac{9a^2}{4}-2\frac{3a}{2}5r+25r^2& =& -\frac{3a^2}{4}+3ar\end{array}$$

$$\frac{9a^2}{4}-15ar+25r^2-\frac{3a^2}{4}+3ar=0$$

$$25r^2-18ar+3a^2=0$$

$$r=a\frac{18\pm \sqrt{324-300}}{50}=a\frac{18\pm \sqrt{24}}{50}=a\frac{9\pm \sqrt{6}}{25}$$

En nuestro caso $r=a\frac{9-\sqrt{6}}{25}$

Problema 62. Sangaku

Halla los radios de las circunferenicas inscritas

Solución del problema 62

Solución al problema 61

Enunciado del problema 61

En el triángulo

$$\begin{array}{ccc}{\left(\frac{a}{2}+r\right)}^2& =& {\left(\frac{a}{2}-r\right)}^2+(a-r{)}^2\\ {\left(\frac{a}{2}+r\right)}^2-{\left(\frac{a}{2}-r\right)}^2& =& (a-r{)}^2\\ \left(\frac{a}{2}+r+\frac{a}{2}-r\right)\left(\frac{a}{2}+r-\frac{a}{2}+r\right)& =& (a-r{)}^2\\ 2ar& =& a^2-2ar+r^2\\ r^2-4ar+a^2& =& 0\\ r& =& \frac{4a\pm \sqrt{16a^2-4a^2}}{2}\\ r& =& \frac{4a\pm 2a\sqrt{3}}{2}=a\frac{2\pm \sqrt{3}}{2}\end{array}$$

En nuestro caso $r=a\frac{2-\sqrt{3}}{2}$

Problema 61. Sangaku

Halla el radio de la circunferenica inscrita

Solución del problema 61

Solución al problema 60

Enunciado del problema 60

Llamemos $ABCD$ la las esquinas del cuadrado de lado a. Sea la diagonal$AC$, donde se encuentran los centros de las circunferencias. Sean respectivamente los centros$M,N,R,P$ de radios $r_1,r_2,r_3,r_4$

Tenemos el siguiente esquema para cada uno de los triángulos rectángulos que se forman

Circunferencia $C\left(N,r_2\right)$

$$\begin{array}{ccc}(a-r_2{)}^2& =& r_2^2+r_2^2\\ (a-r_2{)}^2& =& 2r_2^2\\ {\left(\frac{a-r_2}{\sqrt{2}}\right)}^2& =& r_2\\ \frac{a-r_2}{\sqrt{2}}& =& r_2\\ a& =& r_2\left(1+\sqrt{2}\right)\\ r_2& =& \frac{a}{1+\sqrt{2}}\\ r_2& =& a\left(\sqrt{2}-1\right)\end{array}$$

Circunferencia $C\left(M,r_1\right)$

$$\begin{array}{ccc}(a-2r_2-r_1{)}^2& =& r_1^2+r_1^2\\ a-2r_2-r_1& =& r_1\sqrt{2}\\ a-2r_2& =& r_1\left(1+\sqrt{2}\right)\\ r_1& =& \frac{a-2r_2}{\sqrt{2}+1}\\ r_1=\frac{a-2\left(a\left(\sqrt{2}-1\right)\right)}{\sqrt{2}+1}& =& a\frac{1-2\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+1}=a\frac{3-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}\\ r_1=a\left(3-2\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)& =& a\left(3\sqrt{2}-4-3+2\sqrt{2}\right)\\ r_1& =& a\left(5\sqrt{2}-7\right)\end{array}$$

Circunferencia $C\left(R,r_3\right)$

$$\begin{array}{ccc}(a+r_3{)}^2& =& 2(a-r_3{)}^2\\ a+r_3& =& \sqrt{2}\left(a+r_3\right)\\ a+r_3& =& a\sqrt{2}-\sqrt{2}{r}_3\\ r_3\left(1+\sqrt{2}\right)& =& a\left(\sqrt{2}-1\right)\\ r_3& =& a\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=a(\sqrt{2}-1{)}^2\\ r_3& =& a\left(3-2\sqrt{2}\right)\end{array}$$

Circunferencia $C\left(P,r_4\right)$

$$\begin{array}{ccc}(a+2r_3+r_4{)}^2& =& 2(a-r_4{)}^2\\ a+2r_3+r_4& =& \sqrt{2}\left(a-r_4\right)\\ a+2r_3+r_4& =& a\sqrt{2}-\sqrt{2}{r}_4\\ r_4\left(1+\sqrt{2}\right)& =& a\left(\sqrt{2}-1\right)-r_3=\\ =a\left(\sqrt{2}-1-1\left(3-2\sqrt{2}\right)\right)& =& =a\left(\sqrt{2}-1-6+4\sqrt{2}\right)=a\left(-7+5\sqrt{2}\right)\\ r_4=a\frac{-7+5\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}& =& a\left(-7+5\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)\\ r_4& =& a\left(17-12\sqrt{2}\right)\end{array}$$

Además

$$.\begin{array}{c}\frac{r_3}{r_4}=\frac{3-2\sqrt{2}}{17-12\sqrt{2}}=3+2\sqrt{2}\\ \frac{r_2}{r_1}=\frac{\sqrt{2}-1}{5\sqrt{2}-7}=3+2\sqrt{2}\end{array}\}\Rightarrow \frac{r_3}{r_4}=\frac{r_2}{r_1}\Rightarrow r_1{r}_3=r_2{r}_4$$

Problema 60. Sangaku

Halla los radios de las circunferencias inscritas

Solución del problema 60

Solución del problema 59

Enunciado del problema 59

En el triángulo

$$\begin{array}{ccc}{r}^2+r^2& =& {\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}-r\right)}^2\\ r\sqrt{2}& =& \frac{a\sqrt{2}}{2}-r\\ r\left(1+\sqrt{2}\right)& =& \frac{a\sqrt{2}}{2}\\ r& =& \frac{a\sqrt{2}}{2\left(\sqrt{2}+1\right)}\\ r& =& \frac{a\sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)}{2}\\ r& =& a\frac{2-\sqrt{2}}{2}\end{array}$$

Problema 59. Sangaku

Halla el radio de la circunferencia inscrita

Solución del problema 59