Solución del problema 20

Enunciado del problema 20

En primer lugar analicemos los términos de la sucesión como si no volvieran a empezar otra vez desde 1. Tomando como cuadrado inicial el sombreado, tenemos una serie de cuadrados autocontenidos en cuyos lados tienen un número impar de cuadrados pequeños.

73	74	75	76	77	78	79	80	81
72	43	44	45	46	47	48	49	50
71	42	21	22	23	24	25	26	51
70	41	20	7	8	9	10	27	52
69	40	19	6	1	2	11	28	53
68	39	18	5	4	3	12	29	54
67	38	17	16	15	14	13	30	55
66	37	36	35	34	33	32	31	56
65	64	63	62	61	60	59	58	57

Si tomamos los números que están encima del 1 central (incluido este) tenemos la sucesión $1,8,23,46,\dots$

Hallemos el término general para esta sucesión, viendo las diferencias finitas entre sus términos

1		8		23		46		77
	7		15		23		31
		8		8		8

por tanto el término general será

$$\begin{array}{ccc}{a}_n& =& 1+7\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{1}\right)+8\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2}\right)=\end{array}$$

$$=1+7\left(n-1\right)+8\frac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{2}=$$$$1+7n-7+4\left(n^2-3n+2\right)=4n^2-5n+2$$

En nuestro caso queremos saber el número que hay 100 filas mas arriba, por tanto el valor correspondiente a $n=101$ que es $a_{101}=40301$

Además

Si $a_n\equiv 0\left(5\right)$le corresponde un 5

Si $a_n\equiv 1\left(5\right)$le corresponde un 1

Si $a_n\equiv 2\left(5\right)$le corresponde un 2

Si $a_n\equiv 3\left(5\right)$le corresponde un 3

Si $a_n\equiv 4\left(5\right)$le corresponde un 4

Puesto que $40301\equiv 1\left(5\right)$, le corresponde un 1