Solución al problema 148

Enunciado del problema 148

Llamemos $t$ al ángulo $\widehat{MOB}$. Como $OA=MN=NP$ y el triángulo $AMP$es rectángulo, $N$ está en la mitad de $MP$, luego $MN=AN$.

Se tiene que:

$$\widehat{APN}=t=\Rightarrow \widehat{PAN}=t=\Rightarrow \widehat{ANP}=180-2t=\Rightarrow \widehat{ANO}=2t$$

Como $$ AN=OA = ⇒ AON ˆ =2t y por tanto

$$$$ AOB ˆ = AON ˆ + NOB ˆ =2t+t=3t

Problema 148. Concoide de Nicomedes

La concoide de Nicomedes se obtiene también cuando trazamos un ángulo utilizando el método de Hipócrates (siglo V a.C.) que aparece en la figura.

Supongamos que queremos trisecar el ángulo agudo $\widehat{AOB}$. Construimos una recta auxiliar perpendicular a uno de los lados. Esta recta corta a los lados del ángulo en $A$y en $K$. Para cada recta que pasa por $O$, hallamos el punto $P$ de tal manera que la distancia $MP$ sea el doble de la longitud del segmento $OA$, siendo $M$ el punto de intersección de la recta variable $OP$ con la recta auxiliar $KA$. Cuando la recta $AP$ es paralela al lado $OB$, el ángulo $\widehat{BOP}$ es la tercera parte del ángulo $\widehat{BOA}$. Demuéstralo.

Solución al problema 148

Solución al problema 147

Hay que calcular

$\frac{\left(2+3\right)\left(2^2+3^2\right)\left(2^4+3^4\right)\left(2^8+3^8\right)\dots \left(2^{1024}+3^{1024}\right)\left(2^{2048}+3^{2048}\right)+2^{4096}}{3^{2048}}$(1)

Como la suma de los n términos de una progresión geométrica de razón r es $S_n=\frac{a_{n}r-a_1}{r-1}$ y como $3\cdot 3^2\cdot 3^3\cdot \dots \cdot 3^{1024}=3^{2047}$

$\frac{\left(2+3\right)\left(2^2+3^2\right)\left(2^4+3^4\right)\dots \left(2^{1024}+3^{1024}\right)\left(2^{2048}+3^{2048}\right)}{3^{2048}}=$

$=\left(\frac{2+3}{3}\right)\left(\frac{2^2+3^2}{3^2}\right)\left(\frac{2^4+3^4}{3^4}\right)\dots \left(\frac{2^{1024}+3^{1024}}{3^{1024}}\right)\frac{\left(2^{2048}+3^{2048}\right)}{3}$(2)

Llamando $m=\frac{2}{3}$

$\left(m+1\right)\left(m^2+1\right)\left(m^4+1\right)\dots \left(m^{1024}+1\right)=$

$m^{2047}+m^{2046}+m^{2045}+\dots +m^2+m+1=$

$\frac{m^{2048}-1}{m-1}=\frac{1-m^{2048}}{1-m}=\frac{1-m^{2048}}{1-\frac{2}{3}}=3\left(1-m^{2048}\right)$

con lo cual en (2)

$\left(2\right)=3\left(1-m^{2048}\right)\frac{2^{2048}+3^{2048}}{3}$

Y por tanto en (1)

$\left(1\right)=\left(1-m^{2048}\right)\left(2^{2048}+3^{2048}\right)+\frac{2^{4096}}{3^{2048}}=\left(1-m^{2048}\right)\left(2^{2048}+3^{2048}\right)+m^{2048}{2}^{2048}=$

$=\frac{\left(1-m^{2048}\right)\left(2^{2048}+3^{2048}\right)+m^{2048}{2}^{2048}}{3^{2048}}{3}^{2048}=\left(\left(1-m^{2048}\right)\left(m^{2048}+1\right)+m^{2048}{m}^{2048}\right)3^{2048}=$

$\left[\left(1-m^{4096}\right)+m^{4096}\right]3^{2048}=3^{2048}$

Problema 147. CM2010627

Calcula el valor de la expresión

$\frac{\left(2+3\right)\left(2^2+3^2\right)\left(2^4+3^4\right)\left(2^8+3^8\right)\dots \left(2^{1024}+3^{1024}\right)\left(2^{2048}+3^{2048}\right)+2^{4096}}{3^{2048}}$