Solución al problema 134

Enunciado del problema 134

Si $75m=n^3,$como $n$ debe ser entero, y $n=\sqrt[3]{5^2\cdot 3\cdot m}$, $m$ debe ser tal que se pueda extraer la raíz cúbica, luego $m=5\cdot 3^3=45\Rightarrow n=15\Rightarrow m+n=60$.

Problema 134. CM2004415

Si m y n son dos enteros positivos tales que $75m=n^3$¿Cuál es el menor valor de $m+n$?

Solución al problema 134

Solución al problema 133

Enunciado del problema 133

Sea el cuadrado mágico

a	b	c
d	15	e
f	g	h

Vamos a resolver el problema planteando las distintas ecuaciones. Relacionaremos dos igualdades y de ellas despejaremos una variable. A continuación sustituiremos esa variable en todas las ecuaciones que la contengan para ir eliminando sistemáticamente una variable en cada paso.

Condiciones:

$abc=15de=fgh=adf=15bg=ceh=15ah=15cf$

Como $15de=15bg\Rightarrow de=bg\Rightarrow d=\frac{bg}{e}$

Sustituyendo en las condiciones:

$abc=fgh=\frac{abgh}{e}=15bg=ceh=15ah=15cf$

Por tanto

$abce=efgh=abfg=15beg=c{e}^{2}h=15aeh=15cef$

Como $abce=15beg\Rightarrow ac=15g\Rightarrow g=\frac{ac}{15}$

Sustituyendo en las condiciones

$abcd=ef\frac{ac}{15}h=abf\frac{ac}{15}=c{e}^{2}h=15aeh=15cef$

Por tanto

$15abce=acefh=a^{2}bcf=15c{e}^{2}h=15^{2}aeh=15^{2}cef$

Como

$15abce=acefh\Rightarrow 15b=fh\Rightarrow b=\frac{fh}{15}$

Sustituyendo

$acefh=a^2\frac{fh}{15}cf=15c{e}^{2}h=15^{2}aeh=15^{2}cef$

Por tanto

$15acefh=a^{2}c{f}^{2}h=15^{2}c{e}^{2}h=15^{3}aeh=15^{3}cef$

Como

$15acefh=15^{2}c{e}^{2}h\Rightarrow af=15e\Rightarrow e=\frac{af}{15}$

Sustituyendo

$15^{2}c\frac{a^2{f}^2}{15^2}h=15^{2}a\frac{af}{15}h=15^{2}c\frac{af}{15}f$

Por tanto

$a^{2}c{f}^{2}h=15^2{a}^{2}fh=15^{2}ac{f}^2$

Como

$a^{2}c{f}^{2}h=15^2{a}^{2}fh\Rightarrow cf=15^2\Rightarrow c=\frac{15^2}{f}$

Sustituyendo

$15^2{a}^{2}fh=15^2\frac{a15^2}{f}{f}^2$

Por tanto

$15^2{a}^{2}fh=15^{2}a15^2{f}^2\Rightarrow a^{2}fh=15^{2}af\Rightarrow ah=15^2$

En resumen las condiciones son:

$ah=15^2;c=\frac{15^2}{f};e=\frac{af}{15};b=\frac{fh}{15};g=\frac{ac}{15};d=\frac{bg}{e}$

Sobre $f$ no hay condición, pero si los números deben ser enteros, f tiene que dividir a $15^2$. Solo puede ser $1,3,5,9,15,25,45,75,225$

Por otra parte como los valores tiene que ser distintos, $a,h,c$ no pueden ser 15

Además

$abc=a\frac{fh}{15}c=a\frac{fh}{15}\frac{15^2}{f}=15^{2}15=15^3=3375$

Caso $a=1$

Si $a=1,e=\frac{f}{15}$ y $g=\frac{15}{f}$. Como $f$ no puede ser 15, solo puede ser $5,15,45$, lo que da dos soluciones:

$a=3;f=5$
$3$	$25$	$45$
$225$	$15$	$1$
$5$	$9$	$75$

$a=3;f=45$
$3$	$225$	$5$
$25$	$15$	$9$
$45$	$1$	$75$

Las filas y las columnas están traspuestas

Caso $a=5$

Si $a=5,e=\frac{f}{3}$ y $g=\frac{75}{f}$

Como $f$ es múltiplo de 3 y divide a 75, solo puede ser $3,75$(No puede ser 15)

$a=5;f=3$
$5$	$9$	$75$
$225$	$15$	$1$
$3$	$25$	$45$

$a=5;f=75$
$5$	$225$	$3$
$9$	$15$	$25$
$75$	$1$	$45$

Las filas y las columnas están traspuestas

Caso $a=9$

Si $a=9,e=\frac{3f}{5},b=\frac{5f}{3},d=\frac{5^{3}3}{f},g=\frac{9\cdot 15}{f}$

$f$debe ser múltiplo de 5 y de 3, luego debe serlo de 15. Solo puede ser $45,75,225$

Para $f=45$, d resulta no ser entero

Si $f=75$, $g$ no es entero

Si $f=225$, $g<1$

Caso $a=25$

Si $a=25$

$e=\frac{5f}{3};b=\frac{3f}{5};g=\frac{5^{3}3}{f};d=\frac{3^{3}5}{f}$

Como de debe ser múltiplo de 3 y de 5, debe serlo de 15, luego solo puede ser $f=15,45,75,225$

$f=15$ produce números iguales

$f=45$ hace que g no sea entero

$f=75$ o $f=225$ hace que d sea decimal

Caso a=45

Si $a=45;b=\frac{f}{3};d=\frac{5^{2}3}{f}$

Si f ha de ser múltiplo de 3, $f=3,9,15,45,75,225$

Si $f=15$ y $f=225$ que procuce números iguales

Si $f=9$ o $f=225$, d no es entero

Para $f=3$ y $f=75$

$a=45;f=3$
$45$	$1$	$75$
$25$	$15$	$9$
$3$	$225$	$5$

$a=45;f=75$
$45$	$25$	$3$
$1$	$15$	$225$
$75$	$9$	$5$

Las filas y las columnas están traspuestas

Caso $a=75$

Si $a=75;e=\frac{f}{5}\Rightarrow$f debe ser múltiplo de 5 $f=5,15,25,45,75,225$

Para $f=15$ y $f=45$ se producen números iguales

Para $f=25$ y $f=225$ d es no entero

Para $f=5$ y $f=45$

$a=75;f=5$
$75$	$1$	$45$
$9$	$15$	$25$
$5$	$225$	$3$

$a=75;f=45$
$75$	$9$	$5$
$1$	$15$	$225$
$45$	25	$3$

Las filas y las columnas están traspuestas

Caso $a=225=15^2$

Si $a=225;b=\frac{f}{15};d=\frac{15}{f}$ y debe ser f distinto de 15, lo que no es posible.

Por tanto no hay mas casos.

Problema 133

Este problema fué propuesto por el diario EL PAIS el 1 de Abril de 2011

Enuentra un cuadrado mágico de 3 x 3, en cuya casilla central hay un 15, y tal que el producto de las tres filas, las tres columnas y las dos diagonales sea siempre el mismo

Solución al problema 133