Solución 1 del problema 17

Enunciado problema 17

En la figura de la izquierda a=$\overline{DC}$=$\overline{DC}$ y $\overline{AD}=m$

Por el teorema del seno en el triángulo $\stackrel{▵}{ADC}$

$$\frac{a}{sen15º}=\frac{m}{sen30º}$$

y en el triángulo $\stackrel{▵}{ABD}$

$$\frac{a}{sen\alpha }=\frac{m}{sen\left(135-\alpha \right)}$$

De lo anterior como

$$sen\left(135-\alpha \right)=sen135cos\alpha +cos135sen\alpha =$$

$$\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha +\frac{\sqrt{2}}{2}sen\alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}\left(cos\alpha +sen\alpha \right)$$

Entonces

$$\frac{a}{m}=\frac{sen15}{sen30}=\frac{sen\alpha }{sen\left(135-\alpha \right)}=\frac{sen\alpha }{\frac{\sqrt{2}}{2}\left(sen\alpha +cos\alpha \right)}$$

Desarrollando el sen30 como el seno del ángulo doble

$$\frac{sen15}{2sen15cos15}=\frac{sen\alpha }{\frac{\sqrt{2}}{2}\left(sen\alpha +cos\alpha \right)}\Rightarrow 2cos15=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+cot\alpha \right)$$

Como$$cos\alpha =\pm \sqrt{\frac{1+cos\alpha }{2}}\Rightarrow cos15=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$$

Sustituyendo $cos15=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$

$$\frac{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+cot\alpha \right)\Rightarrow \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}=1+cot\alpha$$

Utilizando que $\sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ (Véase problema 16)

$cot\alpha =2\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}-1=\frac{2}{\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)-1=1+\frac{2\sqrt{3}}{2}-1=\sqrt{3}$

luego $\alpha =30º$