Solución al problema 120

Enunciado del problema 120

a)

Supongamos que el lado de un polígono regular es $a=AB$. Tenemos que calcular el lado del polígono regular con el doble número de lados $AC$

Como

$$BM=\frac{a}{2}\Rightarrow OM=\sqrt{1-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}$$

$$MC=1-OM=1-\frac{\sqrt{1-a^2}}{2}$$

$$\begin{array}{ccc}B{C}^2& =& B{M}^2+M{C}^2=\frac{a^2}{4}+{\left(1-\sqrt{1-\frac{a^2}{4}}\right)}^2=\end{array}$$

$$\begin{array}{ccc}\frac{a^2}{4}+1-2\sqrt{1-\frac{a^2}{4}}+1-\frac{a^2}{4}& =& 2-\sqrt{4-a^2}\end{array}$$

Por tanto si $a_n$ el el lado del polígono regular de $n$lados, el lado del polígono regular de $2n$ lados vale $a_{2n}=\sqrt{2-\sqrt{4-a_n^2}}$

b)$a_4$ es el cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 1, y por tanto el lado del cuadrado es $\sqrt{2}$

$$a_8=\sqrt{2-\sqrt{4-a_4^2}}=\sqrt{2-\sqrt{4-2}}=\sqrt{2-\sqrt{2}}=0.765366$$

Perímetro$$P_8=8\sqrt{2-\sqrt{2}}$$

Aproximación a pi

$${\pi }_8=\frac{8\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}=4\sqrt{2-\sqrt{2}}=3.06146$$

En general

$${\pi }_{2n}=\frac{2n{a}_{2n}}{2}=n\sqrt{2-\sqrt{4-a_n^2}}$$

$2n$	$a_{2n}$	${\pi }_{2n}$	${\pi }_{2n}-\pi$
$4$	$1,414213562$	$2,828427125$	$-0,313165529$
$8$	$0,765366865$	$3,061467459$	$-0,080125195$
$16$	$0,390180644$	$3,121445152$	$-0,020147501$
$32$	$0,196034281$	$3,136548491$	$-0,005044163$
$64$	$0,098135349$	$3,140331157$	$-0,001261497$
$128$	$0,049082457$	$3,141277251$	$-0,000315403$
$256$	$0,024543077$	$3,141513801$	$-7,88524\cdot 10^{-5}$
$512$	$0,012271769$	$3,14157294$	$-1,97132\cdot 10^{-5}$
$1024$	$0,006135914$	$3,141587725$	$-4,92831\cdot 10^{-6}$
$2048$	$0,00306796$	$3,141591422$	$-1,23209\cdot 10^{-6}$
$4096$	$0,001533981$	$3,141592346$	$-3,07979\cdot 10^{-7}$
$8192$	$0,00076699$	$3,141592577$	$-7,70448\cdot 10^{-8}$